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《高中数学解析几何双曲线性质与定义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。一、双曲线的定义①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F】、F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F】和F?之间的距离即2a<2c)时所成的轨迹叫做双曲线。取过两个定点片、F2的直线为x轴，线段FT?的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。设M(x,y)为双曲线上任意一点，那么
2、Fl、F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0).乂设点M与Fl、F2的距离的差的绝对值等于常数2a0/.+-cF★y"=±2a・将这个方程移项，两边平方得：(x+c)a+ya=i-c)a+ya・两边再平方，整理得:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)由双曲线定义，2c>2a即c>a,所以c2-a2>0.设c2-a2=h2(b>0),代入上式得:双曲线的标准方程:7=1两个定点几小2叫做双曲线的左，右焦点。两焦点的距离叫焦距，长度为2co坐标轴上的端点叫做顶点，其屮％为双曲线的实轴长，2b为双曲线的虚轴长。实轴长、虚轴长、焦距间的关系:c2=a2
3、+b②双曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程:令=1,我们将c2=a2+b2代入,可得:+(无土C)x±所以有：双曲线的第二定义可描述为：2平面内一个动点(x,y)到定点F(±c,0)的距离与到定直线/(%=±—)的距离之比为C常数e=-(c>a>0)的点的轨迹是双曲线，其中，定点F叫做双曲线的焦点，定直线/叫做双a曲线的准线，常数幺是双曲线的离心率。1、离心率:(1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比=-，叫做双曲线的离心率;2aa(2)范围：e>；(3)双曲线形状与£的关系:.ba/c2-a2k=—=aa因此幺越大，即渐近线的斜率的绝对
4、值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；(1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；(2)渐近线的位置(倾斜)情况乂受到其斜率制约；2、准线方程:222对于=l来说，相对于左焦点片(-c,0)对应着左准线/,：%=-—,相对于右焦点cCZrc2F2(c,0)对应着右准线Z2:x=—；c位置关系：X>.z>—>0,焦点到准线的距离p=—(也叫焦参数)；CC222对于•-二=1来说，相对于下焦点F、(0,-c)对应着下准线相对于上焦点尺(0,c)对c2应着上准线l2-y=一o3、双曲线的焦半径：双曲线上
5、任意一点M与双曲线焦点片、佗的连线段，叫做双曲线的焦半径。r2v2设双曲线—-^=1(。>0">0),片,只是其左右焦点，ab厶a1无）+—C_门・—M用=e,二用=”+€Xo
6、；同理
7、则耳
8、=”_仅0；即：焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：其中耳、坊分别是双曲线的左(下)、右(上)焦点片
9、=匕+弧
10、\MF2=a-ex{)同理：焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式:^MF=a+ey{\MF2=a-ey0二、双曲线的性质1、轨迹上一点的取值范围：x>a^x<-a(焦点在x轴上)或者y>a^y<-a(焦点在y轴上)。2、对称性：关于坐标轴和
11、原点对称。3、顶点：A(-a,0),A'(a,0)。同时AA‘叫做双曲线的实轴且丨AA，
12、=2a；B(0,-b),(0,b)。同时BBZ叫做双曲线的虚轴且IBB‘
13、二2b。4、渐近线：由4-4=i=>4-4=-4,当兀too,loo时上t±2所以：双曲线的渐近线方程为:crh~x~a~对xa焦点在x轴：y=±2兀，焦点在y轴：x=±—yaa5、双曲线焦半径公式：(圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离)右焦半径：r=
14、ex-a
15、左焦半径：r=
16、ex+a
17、6、共觇双曲线2222双曲线S:二—L=1(a>0,b>0),双曲线「―二=1(a>0,b>0)crb
18、~b~cr双曲线V的实轴是双曲线S的虚轴且双曲线V的虚轴是双曲线S的实轴吋，称双曲线V与双曲线S为共轨双曲线。特点：(1)共渐近线(2)焦距相等(3)两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于17.焦点到一条渐近线的距离特别如图2可知：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于半短轴长.这个性质很重要.三、例题求解：29•例1：已知双曲线二-与=1(d>0,b>0)的渐近线是y=±-xf我们可以判断直线cray-kx+m与双曲线的交点个数①当直线y=kx^m的斜率k=-时，如果»=0,显然它就是渐近线，与双曲线没有任a何交点，如果林则它与双曲线有一个只有一个交点。②
19、当直线y=kx+m的斜率Rw时，贝'Jy=kx--m与双曲线有两
