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《高中数学解析几何双曲线性质与定义.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。一、双曲线的定义①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点Fi、F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于Fi和F2之间的距离即2a<2c)时所成的轨迹叫做双曲线。取过两个定点Fi、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。图2-24设M(x,y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐
2、标分别是(-c,0)、(c,0).又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a。二晒二麻工产F，晔尸而可*「，+cyJy---a).±2a,将这个方程移项，两边平方得：(x+c)2+/=4/上㈤工十/-C)3+y*.两边再平方，整理得：c2a2x2a2y2a2c2a2由双曲线定义，202a即c>a,所以c2-a2>0.设c2a2b2(b>0),代入上式得:22双曲线的标准方程：、、1ab两个定点Fi,F2叫做双曲线的左，右焦点。两焦点的距离叫焦距，长度为2c0坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a为双曲线的实轴长，2b为双曲线的虚轴长。实轴长、虚轴长、焦距间的关系：c2a2b2,②双
3、曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程:2x-2a2y21,我们将c2a2b2代入,b22x2ax一c所以有：双曲线的第二定义可描述为:平面内一个动点(x,y)到定点F(c,0)的距离与到定直线l(x2—)的距离之比为c常数ecca0的点的轨迹是双曲线，其中,a定点F叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率1、离心率：(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比2c2a叫做双曲线的离心率;a(2)范围：e1；(3)双曲线形状与e的关系:y1FlAiOA2F2x因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大,可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；这是双曲线的
4、形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此(1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；(2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约；2、准线方程：22对于Iyr1来说，相对于左焦点E(c,0)对应着左准线11：xab2—,相对于右焦点cF2(c,0)对应着右准线12位置关系:22对于%b22aa—c0,b2焦点到准线的距离p—(也叫焦参数)；c1来说，相对于下焦点F1(0,c)对应着下准线11:ya2一;相对于上焦点F2(0,c)对c应着上准线12:yyA2F2xF2AA1F1F1、F2的连线段，叫做双曲线的焦半径。F1，F2是其左右焦点,eX);同理MF2aex0;其中F「F2分别是双
5、曲线的左(下)、右(上)焦点3、顶点：A(-a,0)A，(a,0)同时AA7叫做双曲线的实轴且IAAI=2a；B(0,-b)4、渐近线:B/(0,b)同时BB/叫做双曲线的虚轴且
6、BB/I=2b02由二2a2匕1b22y2xb2-2a焦点在x轴:b2~~2xbv—x,a,y焦点在y轴：x时，xbyb所以：双曲线的渐近线方程为:a5、双曲线焦半径公式:(圆锥曲线上任意一点aP(x,y)右焦半径:左焦半径:r=r=Iex-aIex+a6、共腕双曲线2双曲线S:三a(a0,b0),双曲线双曲线S/的实轴是双曲线bS的虚轴且双曲线S72三1(a0,b0)a的虚轴是双曲线S的实轴时，称3、双曲
7、线的焦半径：双曲线上任意一点M与双曲线焦点22设双曲线与2_1(a0,b0),ab
8、MFi
9、.MF1J——-e,————1re,••MFiad1ax0c即：焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式:MF1aex0MF2aex0同理：焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式:MF〔aey0MF2aey0二、双曲线的性质1、轨迹上一点的取值范围：xa或xa(焦点在x轴上)或者ya或ya(焦点在y轴上)。2、对称性：关于坐标轴和原点对称。双曲线S，与双曲线S为共腕双曲线。特点：(1)共渐近线(2)焦距相等(3)两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于7.焦点到一条渐近线的距离特别如图2可知：双曲线的一个焦点到
10、一条渐近线的距离等于半短轴长.这个性质很重要.、例题求解:bx,我们可以判断直线a22例1:已知双曲线勺1(a0,b0)的渐近线是yabykxm与双曲线的交点个数①当直线ykxm的斜率kb时，如果,显然它就是渐近线，与双曲线没有任a何交点，如果徵手°,则它与双曲线有一个只有一个交点。②当直线ykxm的斜率k2,2时，则ykxm与双曲线有两个交点aa③当直线ykxm的斜率k,-b,时，则ykxm与与双曲线没有交点aa例2已知直线y=.+2与双曲线有两个不同的
