高三数学二轮复习 7-6 空间向量及运算学案

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1、第6讲　空间向量及运算1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.1种必会方法——利用向量法求解立体几何问题用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：①适当的选取基底{a，b，c}；②用a，b，c表示相关向量；③通过运算完成证明或计算问题．2个问题——点共线和点共面问题(1)点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A、B、C三个点共线，即证明与共线．(2)点共面问题：点共面问题，可

2、转化为向量共面问题，要证明P、A、B、C四点共面，只要能证明＝x＋y，或对空间任一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可．3个注意——空间向量应用中的注意事项(1)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．(2)进行向量的加法运算时，若用三角形法则，必须使两向量首尾相接；若用平行四边形法则，必须使两向量共起点．进行向量减法时，必须使两向量共起点．(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算相似，只是多出一个坐标，与平面向量的坐标运算作一些对比，可以比

3、较容易地掌握空间向量的坐标运算问题.考点1　空间向量的有关定理1.共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使.2．共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.3．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得.其中，{a，b，c}叫做空间的一个推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使＝　判断下列说法是否正确(请在括号内填“√”或“×”)．(1)已知

4、A、B、C、D是空间任意四点，则＋＋＋＝0.()(2)若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行．()(3)若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面．()(4)若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面．()(5)已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.()　如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若＝λ(＋)，则λ＝____.考点2　数量积及坐标运算1.两个向量的数量积①a·b＝

5、a

6、

7、b

8、cos〈a，b〉．②a⊥b⇔(a，b为非零向量)．③

9、a

10、

11、2＝，

12、a

13、＝.2．空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．则①

14、a

15、＝.②a＋b＝③a－b＝④λa＝⑤a·b＝⑥设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝－＝⑦cos〈a，b〉＝.　(1)已知向量a＝(8，x，x)，b＝(x,1,2)，其中x>0.若a∥b，则x的值为.(2)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是.(3)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的锐角二面角为.考向一　例1　[2013·长春月考]如图所示，在平行六

16、面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；　(2)；(3)＋.　本例中，若O为底面ABCD对角线AC与BD的交点，试用a，b，c表示向量.用已知向量表示某一向量的方法用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来．　1.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，G为△A1BD的重心，设＝a，＝b，＝c，试用a，b,c表示，.考向二　例2　[2014·抚州

17、月考]如图在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点．(1)试用向量，，表示；(2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C.证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面＝λ且同过点P＝x＋y对空间任一点O，＝＋t对空间任一点O，＝＋x＋y对空间任一点O，＝x＋(1－x)对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)　2.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC边上的中点，求证：A1B∥平面AC1D.考向三　例3　已知空间三点A(0,2,3)，B(－

18、2,1,6)，C(1，－1,5)．(1