高三数学空间向量及其运算

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1、第八节　空间向量及其运算(B)考纲点击1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．2.了解空间向量的基本定理．3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质．热点提示以选择题或填空题考查用向量法解决立体几何问题的能力.1．空间向量及其加减与数乘运算在空间，具有____________的量叫做向量．__________的有向线段表示同一向量或相等的向量，空间向量的加法、减法与数乘向量运算是平面向量对应运算的推广．空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律：加法交换律：a＋b＝______；加法结合律：(a＋b)＋c＝_________；数乘分配律：λ(a＋b)＝_____

2、____.大小和方向同向且等长b＋aa＋(b＋c)λa＋λb2．共线向量与共面向量如果表示向量的有向线段所在的直线_______________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．_______同一平面的向量叫做共面向量．共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是_______________________.共面向量定理：如果两个向量a，b_______，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y，使p＝xa＋yb.互相平行或重合平行于不共线存在实数λ，使a＝λb不共面不共面a·b＝0a·aλ(a·b)a·b＋a·c1．若{a

3、、b、c}为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是()A．a，a＋b，a－bB．b，a＋b，a－bC．c，a＋b，a－bD．a＋b，a－b，a＋2b【解析】易知A、B、D中的三个向量共面．【答案】C2．若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是()A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)B．(a＋b)·c＝a·c＋b·cC．m(a＋b)＝ma＋mbD．(a·b)c＝a(b·c)【解析】∵(a·b)c与c共线，而a(b·c)与a共线，故(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．【答案】D【答案】A【答案】锐角三角形．5．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,

4、0,2)且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝________.空间向量的线性运【思路点拨】结合图形，利用空间向量加减法及数乘运算法则和运算律即可．用已知向量表示未知向量，一定要结合图形．可从以下角度入手．(1)要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来．(2)把要表示的向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系．(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．共线向量定理、共面向量定理的应用利用向量法证明平行与垂直问题1.要用共线向量定理证

5、明向量a，b所在的直线平行，除证明a＝λb外，还需证明某条直线上必有一点在另一条直线外．2．利用空间向量证明线面平行，只要在平面α内找到一条直线的方向向量为b，已知直线的方向向量为a，证明a＝λb即可．3．利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线上各取一个向量a，b，只要证明a⊥b，即a·b＝0即可．4．证明线面垂直：直线l，平面α，要证l⊥α，只要在l上取一个非零向量p，在α内取两个不共线的向量a、b，问题转化为证明p⊥a且p⊥b，也就是a·p＝0且b·p＝0.5．证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明线线平行，线线垂直．空间两向量平行与空间两直线平行是不同的

6、，直线平行是不允许重合的，而两向量平行，它们所在的直线可以平行也可以重合．(12分)如图所示，空间四边形ABCD，连结对角线AC和BD，E、F分别是BC、AD的中点，AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD＝a.(1)求证：EF是异面直线BC、AD的公垂线；(2)求异面直线BC、AD间的距离．(3)求异面直线AE与CF所成角的余弦值．用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能用已知条件转化成的向量表示，则它们分别

7、最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？【答案】D2．(2009年安徽)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．【解析】设M(0，y,0)由

8、MA

9、＝

10、MB

11、得(1－0)2＋(0－y)2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y)2＋(1－0)2，解得y＝－1.∴M(0，－1,0)．【答案】(0，－1,0)4．深刻理解立体几何中的向量方