高三数学(上)ty函数的单调性函数的极值函数的最大值和最小值

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1、一.教学内容：函数的单调性、函数的极值、函数的最大值和最小值二.本周教学重、难点：1.函数的单调性设函数在某个区间内可导（1）如果时，则函数为增函数（2）如果时，则函数为减函数（3）如果恒有，则为常函数2.函数的极值（1）函数极值的概念（2）判断是极值的方法设函数在点及其附近可导，且=0①如果的符号在点的左右由正变负，则为函数的极大值；②如果的符号在点的左右由负变正，则为函数的极小值；③如果的符号在点的左右符号不变，则不是函数的极值。3.函数的最值（1）函数最值的概念（2）求在上最值的方法①设是定义在区间上的函数，在内可导，求函数

2、的最值，可分三步进行：<1>求函数在内的极值；<2>求函数在区间端点的函数值；<3>将函数的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。②若函数在上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值，若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值。【典型例题】[例1]讨论函数在内单调性。解：∵由即∴10即函数在上单调递增由即∴或∴在（0，）上单调递减，在（）内也单调递减[例2]设函数，其中，求的取值范围，使函数在区间上是单调函数。解：∵∴故当时，恒成立，即时，在上单调递减，又当时，在区间上存在两点，满足，即，所以函数在

3、区间上不是单调函数。[例3]已知函数（且）在定义域上是减函数，求的取值范围。解：∵由得或∵∴又由∴∴[例4]已知，且，设，问：是否存在实数使在上是减函数，并且在上是增函数。10解：由，得，得∴是连续函数，由在上是减函数，且在上是增函数∴∴，即存在实数使满足条件[例5]设函数（其中）（1）若在处取得极值，求常数的值；（2）若在上为增函数，求的取值范围。解：（1）∵在处取得极值∴解得经验证知当时，在处取得极值（2）令得当时，若则∴在和上为增函数故当时，在上为增函数当时，若则∴在和上为增函数，从而在上也为增函数综上所述，当时，在上为增函

4、数[例6]已知为实数，，若在和上都是递增的，求的取值范围。解法一：∴函数图象为开口向上且过点的抛物线由条件得即∴即的取值范围是10解法二：令，即由求根公式得可设，∴在和上非负由题设可知：当或时，从而即解不等式组得∴的取值范围是[例7]设，函数的最大值为1，最小值为，求的值。解：当变化时，变化情况列表如下：01+0－0+↑↓↑当时，取极大值，而∴需要比较与的大小∵∴最大值为又∴∴∴10[例8]已知函数，若在上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。解：由得或∵在上∴在上单调递增∵在上∴在上单调递减因此和分别是在区间上的最大值和最小值

5、又∵∴解得∴即函数在区间上的最小值为[例9]设函数，求正数的范围，使对任意的都有不等式成立。解：，令得当时，当时，∴是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点要使恒成立∴∴解得【模拟试题】（答题时间：30分钟）一.选择题：101.函数的单调递增区间为（）A.B.C.D.及2.若函数的递减区间为，则的取值范围是（）A.B.C.D.3.函数的一个单调区间为（1，2），则（）A.B.C.D.4.函数，已知在时取得极值，则等于（）A.2B.3C.4D.55.函数有（）A.极小值，极大值1B.极小值，极大值3C.极小值，极大值2D.极小值，极大

6、值36.函数在（0，1）内有极小值，则（）A.B.C.D.7.函数的最小值为（）A.0B.C.D.8.函数在区间上的最大值为（）A.10B.C.D.二.解答题：1.确定下列函数在哪个区间内是增函数，在哪个区间内是减函数：（1）；（2）；（3）。102.求函数的极值。3.如果函数在1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求的值。10【试题答案】一.1.D解析：由，得或2.A3.C4.D解析：。5.D解析：，令，得当时，，函数在这个区间为增函数当或时，，函数为减函数∴当时，有极小值；当时，有极大值36.A解析：由（因有极小值，故=0有解

7、），得且当时，当时，当时，又∵在（0，1）内有极小值∴∴7.A解析：，令，得又∴8.A解析：。由得或∵，，∴的最大值为1010二.1.解：（1）令，解得因此，当时，是增函数再令，解得因此，当时，是减函数（2）令，解得或因此，当及时，是增函数再令，解得因此，当时，是减函数（3）令，解得因此，当时，是增函数再令，解得又函数的定义域为，即因此，不存在某一区间，使是减函数2.解：函数的定义域为∵令得当变化时，的变化情况如下表：1（1，2）2+0－+0+↑↓↑3↑10故当时，3.解：，令即，∵是极值点∴又∴可疑点为若当变化时，的变化情况如下

8、表：0（0，1）1+0－0－0+↑极大↓无极值↓极小↑由上表可知，当时，有极大值，当时，有极小值∴若，同理可得10