2012-2013学年高二数学第一学期 能力训练（64）

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1、数学能力训练（64）1．（本小题满分12分）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量的概率分布如下：01230.10.3（Ⅰ）求的值和的数学期望；（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。2．（本小题满分12分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要服务男女需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能

2、否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。附：0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.8283．（本小题满分14分）已知函数，且是奇函数．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性．4．（本小题满分14分）在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的。假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。（1）求蜜蜂落入第二实

3、验区的概率；（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；（3）记为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量的数学期望。5（本小题满分14分）设数列满足（Ⅰ）证明：对一切正整数成立；（Ⅱ）令判断与的大小，并说明理由.6．（本小题满分14分）已知函数图象上一点处的切线方程为．（1）求的值；（2）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；（3）令，若的图象与轴交于，(其中)，的中点为，求证：在处的导数．答案：1．解：（Ⅰ）由概率分布的性质知，则的分布列为01230.10.30.40.2……………………6分（Ⅱ）设事件表示“2个月内共被投诉2次”，事

4、件表示“2个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”，事件表示“2个月内每个月均被投诉1次”则由事件的独立性可得……………………12分故该企业在这两个月共被投诉2次的概率为0.17.2．解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为……………………3分（2）。………………6分由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。………8分（3）由（1）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确

5、定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．………………12分3．解：（Ⅰ）因为函数为奇函数，所以对任意的，，即．又所以．所以解得．……………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得．所以．………………7分当时，由得．变化时，的变化情况如下表：00所以，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．……………………12分当时，，所以函数在上单调递增．……………………14分4．解：（1）记“蜜蜂落入第一实验区”为事件,“蜜蜂落入第二实验区”为事件…………1分依题意，………………3分∴∴蜜蜂落入第二实验区的概率为。……………4分（2）记“恰有一只红

6、色蜜蜂落入第二实验区”为事件，则∴恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率.…………………9分（3）因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，所以变量满足二项分布，即～……………………12分∴随机变量X的数学期望=40×=5……………………14分5．解：（Ⅰ）证法一：①当时，不等式成立，……………………2分②假设时，成立当时，时，成立………………………6分由①②可知，对一切正整数成立.………………………7分证法二：由递推公式可得…上述各式相加并化简得又时，成立，故……………………7分（Ⅱ）解法一：……12分故…………14分解法二：故.因此…………14分6．解

7、：（1），，．∴，且．……………………2分解得．…………………………3分（2），令，则，令，得（舍去）．在内，当时，，∴是增函数；当时，，∴是减函数……………………5分则方程在内有两个不等实根的充要条件是……………………6分即．……………………8分（3），．假设结论成立，则有……………………9分①－②，得．∴．…………………10分由④得，∴……………………11分即，即．⑤令，（)，……………………12分则＞0