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《2012-2013学年高二数学第一学期 能力训练（8）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数学能力训练（8）1、（10分）已知函数.（I）求曲线在点处的切线方程；（II）当时，求函数的单调区间.2、（12分）已知梯形中，∥，，，、分别是、上的点，∥，，是的中点．沿将梯形翻折，使平面⊥平面（如图）.（I）当时，求证：；（II）若以、、、为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；（III）当取得最大值时，求二面角的余弦值．3、(12分)已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知的一个焦点与A关于直线对称．（1）求双曲线的方程；ABCDPE（2）设
2、直线与双曲线的左支交于，两点，另一直线经过及的中点，求直线在轴上的截距的取值范围．4、(12分)在四棱锥中,⊥平面，，,,,是的中点.(Ⅰ)证明:⊥平面；(Ⅱ)若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等,求四棱锥的体积.5(12分)如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为,线段的中点分别为,且△是面积为4的直角三角形.(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程；(Ⅱ)过做直线交椭圆于P,Q两点,使,求直线的方程.6.（12分）已知函数图像上点处的切线方程与直线平行（其中），（I）求函数
3、的解析式；（II）求函数上的最小值；（III）对一切恒成立，求实数的取值范围.答案：12、解（1）方法一：∵平面平面，xyzAE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E-xyz．，又为BC的中点，BC=4，．则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），（－2，2，2），（2，2，0），（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴。方法二：作DH⊥EF于H，连BH，GH，由平面平面知：DH⊥平面EBCF，而EG平面EB
4、CF，故EG⊥DH．H为平行四边形，且，四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，BHDH＝H，故EG⊥平面DBH，而BD平面DBH，∴EG⊥BD．（2）∵AD∥面BFC，所以=VA-BFC＝，即时有最大值为．（3）设平面DBF的法向量为，∵AE=2，B（2，0，0），D（0，2，2），F（0，3，0），∴（－2，2，2），则，即，取，∴，面BCF一个法向量为，则cos<>=，由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－．3、解（1）设双曲线C的渐近线方程为，∵该直线与圆相切，，解得
5、∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．故设双曲线C的方程为．又双曲线C的一个焦点为，∴，．∴双曲线C的方程为:.（2）由得．∵直线与双曲线左支交于两点，因此，解得．又AB中点为，∴直线l的方程为：．令x=0，得．∵，∴，∴4、解法1(Ⅰ如图(1)),连接AC,由AB=4,,E是CD的中点,所以所以而内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE.(Ⅱ)过点B作由(Ⅰ)CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE.于是为直线PB与平面PAE所成的角,且.由知,为直线与平面所成的角.由题意,知因为所以由所以四边形是平行四
6、边形,故于是在中,所以于是又梯形的面积为所以四棱锥的体积为ABCDPExz345y解法2:如图(2),以A为坐标原点,所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为:(Ⅰ)易知因为所以而是平面内的两条相交直线,所以(Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知,分别是,的法向量,而PB与所成的角和PB与所成的角相等,所以由(Ⅰ)知,由故解得.又梯形ABCD的面积为,所以四棱锥的体积为.5、解:设所求椭圆的标准方程为,右焦点为.因是直角三角形,又,故为直角,因此,得.结合得,故,所以离心率.在中,,故由题设条件,得,从
7、而.因此所求椭圆的标准方程为:(2)由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为:,代入椭圆方程得,设,则是上面方程的两根,因此,又,所以由,得,即,解得,所以满足条件的直线有两条,其方程分别为:和6、解：（I）由点处的切线方程与直线平行，得该切线斜率为2，即又所以（II）由（I）知，显然当所以函数上单调递减.当时，所以函数上单调递增，①②时，函数上单调递增，因此所以（III）对一切恒成立，又即设则由单调递增，单调递减，单调递增，所以因为对一切恒成立，故实数的取值范围为
