2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练21 数学思想在解题中的应用（1） 理

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1、训练21　数学思想在解题中的应用(一)(时间：45分钟　满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·北京东城模拟)已知向量a＝(3,2)，b＝(－6,1)，而(λa＋b)⊥(a－λb)，则实数λ等于(　　)．A．1或2B．2或－C．2D．02．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于(　　)．A．18B．24C．60D．903．(2012·临沂模拟)函数y＝的图象大致是(　　)．4．已知集合A＝{(x，y)

2、x、y为实数，且x

3、2＋y2＝1}，B＝{(x，y)

4、x、y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　　)．A．0B．1C．2D．35．若关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1、x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，则k的取值范围是(　　)．A.B.C.D.二、填空题(每小题5分，共15分)6．(2012·合肥模拟)AB是过椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的中心弦，F(c,0)为它的右焦点，则△FAB面积的最大值是________．7．长度都为2的向量，的夹角为，点C在以O为圆心的圆弧(劣弧)上，＝m＋n

5、，则m＋n的最大值是________．8．(2012·厦门模拟)已知F是双曲线－＝1的左焦点，定点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则

6、PF

7、＋

8、PA

9、的最小值为________．三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)(2012·天津)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，点P在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足

10、AQ

11、＝

12、AO

13、，求直线OQ的斜率的值．10．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx.(1)若函数y＝f(x)在x＝2处有

14、极值－6，求y＝f(x)的单调递减区间；(2)若y＝f(x)的导数f′(x)对x∈[－1,1]都有f′(x)≤2，求的范围．11．(12分)已知函数f(x)＝ln(x＋1)－k(x－1)＋1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；(3)证明：＋＋＋…＋＜(n∈N*且n＞1)．参考答案训练21　数学思想在解题中的应用(一)1．B　[由(λa＋b)⊥(a－λb)得(λa＋b)·(a－λb)＝0，∴(3λ－6,2λ＋1)·(3＋6λ，2－λ)＝0，∴λ＝2或λ＝－，

15、故选B.]2．C　[设数列{an}的公差为d.则∴解得：a1＝－3，d＝2，∴S10＝10×(－3)＋×2＝60.]3．A　[易知函数y＝是非奇非偶函数，由此可排除C，D项，对此A，B项，当x＞0时，x取值越大，y＝的波动幅度越小，由此排除B项，故选A.]4．C　[法一　由题得∴或A∩B＝{(x，y)

16、(1,0)，(0,1)}，所以选C.法二　直接作出单位圆x2＋y2＝1和直线x＋y＝1，观察得两曲线有两个交点，故选C.]5．B　[构造函数f(x)＝x2＋2kx－1，∵关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两

17、根x1、x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，∴即∴－＜k≤0.]6．解析　如图所示，F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′为平行四边形，S△ABF＝S△ABF′＝·

18、FF′

19、·h≤bc.当A与短轴端点重合时，(S△ABF)max＝bc.答案　bc7．解析　建立平面直角坐标系，设向量＝(2,0)，向量＝(1，)．设向量＝(2cosα，2sinα)，0≤α≤.由＝m＋n，得(2cosα，2sinα)＝(2m＋n，n)，即2cosα＝2m＋n,2sinα＝n，解得m＝cosα－sinα，n＝s

20、inα.故m＋n＝cosα＋sinα＝sin≤.答案　8．解析　设双曲线的右焦点为E，则

21、PF

22、－

23、PE

24、＝4，

25、PF

26、＋

27、PA

28、＝4＋

29、PE

30、＋

31、PA

32、，当A、P、E共线时，(

33、PE

34、＋

35、PA

36、)min＝

37、AE

38、＝＝5，

39、PF

40、＋

41、PA

42、的最小值为9.答案　99．解　(1)因为点P在椭圆上，故＋＝1，可得＝.于是e2＝＝1－＝，所以椭圆的离心率e＝.(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx，设点Q的坐标为(x0，y0)．由条件得消去y0并整理得x＝.①由

43、AQ

44、＝

45、AO

46、，A(－a,0)及y0＝k

47、x0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2.整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，而x0≠0，故x0＝，代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4.由(1)知＝，故(1＋k2)2＝k2＋4，即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.所以直线OQ的斜率k＝±.10．解　(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有即解得∴f′(x)＝3x2－5x－2.由f′(x)＜0，得－＜x＜2.∵y＝f(x)的单调递减区间是.(2)由得不等式组确