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《2014届高考数学总复习 第八章 立体几何 课时作业55（含解析）理 新人教a版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时作业(五十五)(第一次作业)1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是( )A．60° B．45°C．30°D．90°答案 B解析 连接A1D，DC1，A1C1，∵E，F为A1D，A1C1中点，∴EF∥C1D.∴EF和CD所成角即为∠C1DC＝45°.2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈，〉的值等于( )A.B.C.D.答案 B解析 分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建系，令AD＝1，∴＝(1,1,1)，＝(1，－，0)．
2、∴cos〈，CM〉＝＝.∴sin〈，〉＝.3．(2012·陕西)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC—A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )A.B.C.D.答案 A解析 不妨设CB＝1，则CA＝CC1＝2.由题图知，A点的坐标为(2,0,0)，B点的坐标为(0,0,1)，B1点的坐标为(0,2,1)，C1点的坐标为(0,2,0)．所以＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)．所以cos〈，〉＝＝.4．已知正三棱柱ABC－A1B1C1所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为( )
3、A.B.C.D.答案 D解析 取AC中点E，令AB＝2分别以EB，EC，ED为x，y，z轴建系B1(，0,2)，C(0,1,0)，A(0，－1,0)，D(0,0,2)，＝(，0,0)，＝(0,1，－2)，＝(0，－1，－2)，平面B1DC法向量为n＝(0,2,1)cos〈，n〉＝－∴AD与面B1DC所成的角正弦值为.5．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为( )A.B.C.D.答案 C解析 连接A1C1交B1D1于O点，由已知条件得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1
4、C1D1，所以C1O⊥平面BDD1B1.连接BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，∠C1BO即为所求，OC1＝A1C1＝AC＝2，BC1＝＝2.通过计算得sin∠C1BO＝＝.6．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( )A.B.C.D.答案 B解析 以正三棱锥O－ABC的顶点O为原点，OA，OB，OC为x，y，z轴建系(图略)，设侧棱长为1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)．侧面OAB的法向量为＝(0,0,1)，底面ABC的法向量为n＝(，，)．∴cos〈，n〉＝＝＝.7．正四棱锥S－ABCD中，
5、O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．答案 30°解析 如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P(0，－，)．则＝(2a,0,0)，＝(－a，－，)，＝(a，a,0)．设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，则cos〈，n〉＝＝＝.∴〈，n〉＝60°.∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.8．(2011·大纲全国理)己知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1
6、C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________．答案 解析 设面AEF与面ABC所成的二面角为θ，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为3，则△AEF在面ABC上的射影是△ABC.在△AEF中，AE＝＝，AF＝＝，EF＝＝.△AEF的面积等于××＝，而△ABC的面积等于×32＝，因此有cosθ＝＝，sinθ＝＝，tanθ＝＝，即面AEF与面ABC所成的二面角的正切值是.9.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在
7、直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．答案 (1,1,1)解析 连接AC，BD交于O，连接OE，cos〈，〉＝，∴cos∠AEO＝.又∵OA＝，∴OE＝1，∴E为(1,1,1)．10．(2012·天津)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(2)证明：平面PDC⊥平面ABCD；(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．解析 (1)如图，在四棱锥P—ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC.故∠PAD
8、为异面直线PA与BC所成的角．又因为A
