2014届高考数学总复习 第八章 立体几何 课时作业47（含解析）理 新人教a版

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1、课时作业(四十七)1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取(　　)A．7　　　　　　　　　　　　B．8C．9D．10答案　B解析　1＋＋＋…＋＝>，整理得2n>128，解得n>7.∴初始值至少应取8.2．用数学归纳法证明：(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋n)＝(n∈N*)的第二步中，当n＝k＋1时等式左边与n＝k时的等式左边的差等于________．答案　3k＋2解析　n＝k＋1比n＝k时左边变化的项为(2k＋1)＋(2k＋2)－(k－1)＝3k＋2.3．若数列{an}的通项公式an＝，记cn＝2

2、(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn＝__________.答案　解析　c1＝2(1－a1)＝2×(1－)＝，c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×(1－)×(1－)＝，c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×(1－)×(1－)×(1－)＝，故由归纳推理得cn＝.4．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn.(1)求S1，S2，S3；(2)猜想Sn的表达式并证明．解析　(1)由(S1－1)2＝S，得S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S

3、2，得S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝.(2)猜想：Sn＝.证明：①当n＝1时，显然成立；②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，Sk＝成立．则当n＝k＋1时，由(Sk＋1－1)2＝ak＋1Sk＋1，得Sk＋1＝＝＝.从而n＝k＋1时，猜想也成立．综合①②得结论成立．5．已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0＝1，an＋1＝an·(4－an)，(n∈N)．证明：an

4、(2)假设n＝k时命题成立，即ak－10，所以ak－ak＋1<0.又ak＋1＝ak(4－ak)＝[4－(ak－2)2]<2.所以n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N时有an

5、<2.(2)假设n＝k时有ak－1＋＋＋…＋(n∈N*)．解析　(1)当a＝2时，f(x)＝lnx＋，其定义域为(0，＋∞)．令h(x)＝f(x)－1＝l

6、nx＋－1.∵h′(x)＝－＝>0，∴h(x)在(0，＋∞)上是增函数．①当x>1时，h(x)>h(1)＝0，即f(x)>1；②当01时，lnx＋>1，即lnx>.令x＝(k∈N*)，则有ln>.∴ln>.∵ln(n＋1)＝ln，∴ln(n＋1)>＋＋＋…＋(n∈N*)．证法二：当n＝1时，ln(n＋1)＝ln2.∵3ln2＝ln8>1，∴ln2>，即n＝1时命题成立．假设当n＝k时，命题成

7、立，即ln(k＋1)>＋＋…＋.∴当n＝k＋1时，ln(n＋1)＝ln(k＋2)＝ln(k＋1)＋ln>＋＋…＋＋ln.根据(2)的结论，当x>1时，lnx＋>1，即lnx>.令x＝，则有ln>.则有ln(k＋2)>＋＋…＋＋.即n＝k＋1时命题也成立．7．(2012·辽宁)设f(x)＝lnx＋－1，证明：(1)当x>1时，f(x)<(x－1)；(2)当11时，g′(x)＝＋－<0.又g(1)＝0，所以有g(x)<0，即f(x)<(x－1)．证

8、法二：由均值不等式，当x>1时，21时，f(x)<(x－1)．(2)证法一：记h(x)＝f(x)