高中数学 第一章 三角函数 1.8 函数y=asin（ωx+φ）的图像例题与探究（含解析）北师大版必修4

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1、1.8函数y=Asin（ωx+φ）的图像典题精讲1.由函数y＝sinx的图像经过怎样的变换得到函数y＝sin(ωx＋φ)（ω＞0）的图像？剖析：由y＝sinx的图像变换出y＝sin(ωx＋φ)的图像一般有两个途径.途径一：先相位变换，再周期变换先将y＝sinx的图像向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移｜φ｜个单位；再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得y＝sin(ωx＋φ)的图像.途径二：先周期变换，再相位变换先将y＝sinx的图像上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）；再将得到的图像沿x轴向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平

2、移个单位，便得y＝sin(ωx＋φ)的图像.疑点是这两种途径在平移变换中，为什么沿x轴平移的单位长度不同？其突破口是化归到由函数y=f(x)的图像经过怎样的变换得到函数y=f(ωx+φ)的图像.只有区别开这两个途径，才能灵活进行图像变换.若按途径一有：先将y=f(x)的图像向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移｜φ｜个单位，得函数y=f(x+φ)的图像；再将函数y=f(ωx)的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得y=f(ωx+φ）的图像.若按途径二有：先将y=f(x)的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得函数y=f(ωx)的图像；

3、再将函数y=f(ωx)的图像上各点沿x轴向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移个单位，得y=f(ωx+φ）的图像.若将y=f(x)的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍(ω＞0)，得函数y=f(ωx)的图像；再将函数y=f(ωx)的图像上各点沿x轴向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移

4、φ

5、个单位，得到y=f［ω(x+φ)］的图像，即函数y=f(ωx+ωφ)的图像，而不是函数y=f(ωx+φ)的图像.例如：由函数y＝sinx的图像经过怎样的变换得到函数y＝sin(2x＋)的图像？方法1：（先相位变换，再周期变换）先将y＝sinx的图像向左平移个单

6、位得函数y＝sin(x＋)；再将函数y＝sin(x＋)图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得y＝sin(2x＋)的图像.方法2：（先周期变换，再相位变换）先将f(x)=sinx的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得函数f(x)=sin2x的图像；再将函数f(2x)=sin2x的图像上各点沿x轴向左平移个单位，得f［2(x+)］=sin2(x+)的图像，即函数y=sin(2x+)的图像.在方法2中，得到函数f(2x)=sin2x的图像后，如果把f(2x)=sin2x图像沿x轴向左平移个单位，得f［2（x+)］=sin2(x+)的

7、图像，即函数y=sin(2x+)的图像，而不是函数y＝sin(2x＋)的图像.由以上可见，利用变换法作y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，通常先进行相位变换，后进行周期变换，这样可避免出错.由于容易出错，因此是高考题和模拟题的热点之一.例如：(2006江苏高考卷，4)为了得到函数y=2sin(+),x∈R的图像，只需把函数y=2sinx,x∈R的图像上所有的点（）A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横

8、坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）思路解析：先将y=2sinx,x∈R的图像向左平移个单位长度，得到函数y=2sin(x+),x∈R的图像，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数y=2sin(+),x∈R的图像.答案：C2.如何求型如y=Asin(ωx+φ)+b(ω＜0)函数的单调递增区间?以y=2sin(-2x)+1为例说明.剖析：复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=f[g(x)]是增

9、(减)函数，可概括为“同增异减”.函数y=2sin(-2x)+1的定义域是R.函数y=2sin(-2x)+1是复合函数，y=f(u)＝2u+1，u=sin(-2x).则要求函数y=2sin(-2x)+1的单调递增区间，需求u=sin(-2x)的单调递增区间.函数u=sin(-2x)又是复合函数，u=sint，t=-2x.则要求函数u=sin(-2x)的单调递增区间，需求函数u=sint的单调递减区间.则正确的解法是：令2kπ+≤-2x≤2kπ+(k∈Z)，∴2kπ+-≤-2x≤2kπ+-(k∈Z).∴.∴≤x≤,即-kπ-≤x≤-kπ-.∴函

10、数的单调递增区间是［-kπ-,-kπ-］（k∈Z）.由此可见原解法求出的区间是函数的单调递减区间.原解法的错误是求复合函数的单调区间时，错误地判断了构成复合函数的内