高中数学 1.1导数的概念学案苏教版选修2-2

《高中数学 1.1导数的概念学案苏教版选修2-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1．1导数的概念一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议导数的概念了解借助于导数概念形成的物理背景(瞬时速度)及几何背景(曲线切线的斜率)来理解如何从平均变化率过渡到瞬时变化率，从而抽象出导数的概念．导数的几何意义掌握理解导数的几何意义二、预习指导1．预习目标(1)本节主要通过对大量实例的分析，理解平均变化率的实际意义和数学意义，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义．2．预习提纲(1)回顾必修2中用来量化直线倾斜程度的斜率的计算公式．(2)阅读教材，回答下列问

2、题．1)平均变化率:怎样计算一个函数在一个给定的闭区间上的平均变化率?2)瞬时变化率的几何背景：曲线上一点处的切线的斜率①关于割线的斜率：设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋△x，f(x＋△x))，则割线PQ的斜率是多少?②关于点P(x，f(x))处的切线：设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋△x，f(x＋△x))．用运动的观点来看，在点P处的切线可以认为是过点P处的割线PQ的当Q无限靠近点P的极限位置，那么你能计算出切线的斜率吗?

3、说一说求曲线y=f(x)上任一点P(x0，f(x0))处的切线斜率的基本步骤．3)瞬时变化率的物理背景：瞬时速度与瞬时加速度①回忆物理学中对瞬时速度与瞬时加速度所下的定义．②给出位移－时间方程，如何求物体在时刻的瞬时速度?给出速度－位移方程，如何求物体在时刻的瞬时加速度?4)导数：从上述几何背景和物理背景中抽象出的数学概念①请表述出函数在某一点处的导数的概念．②请表述出导函数的概念，并表述导函数的具体的对应法则．③求导数的步骤是什么?④导数的几何意义是什么?⑤说一说利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤．

4、(3)阅读课本例题，思考下列问题．第7页上例4给我们的启示：一次函数f(x)=kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率等于多少?对比第6页上例3与第9页上例1，给你怎样的启示?第13页上例3是求函数在一点处的导数，要注意表述格式的规范化．3．典型例题例1物体做直线运动的方程为s(t)=3t2－5t(位移单位是m，时间单位是s)，求物体在2s到4s的平均速度以及2s到3s的平均速度．分析：利用公式．解：2s到4s的平均速度；2s到3s的平均速度例2已知函数f(x)=2x2＋1，图象上P(1，3)及邻近上点Q(1

5、＋，3＋)，求分析：应用公式=解：=例3已知函数f(x)=x3，证明：函数f(x)在任意区间上的平均变化率都是正数．分析：应用公式=求出平均变化率，再进行配方．解：==恒为正数．例4已知曲线C：，求(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?解：(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1，切点P(1，1)设Q(1＋，)，=，时，3，过P点的切线方程为y－1=3(x－1)，即3x－y－2=0(2)由，可得，得从而求得公共点为(1，1)或(－2，－8)．点评：

6、切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的点．可见，直线与曲线相切不一定只有一个公共点．例5已知曲线上一点P(2，)，求(1)点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线方程．分析：先求出切线的斜率，再由点斜式写出切线方程解：(1)设P(2，)，Q(2＋，)，则割线PQ的斜率=，当时，4，即点P处的切线的斜率为4．(2)点P处的切线方程为，即．点评：本题若将“点P处”改为“过点P”，应该如何解答呢?例6自由落体运动方程为，(位移单位：m，时间单位：s)，(1)计算t从3秒到3．1秒、3．01秒、3．001秒各时间

7、段内的平均速度；(2)求t=3秒时的瞬时速度．分析：要求平均速度，就是要求的值，为此需要求出、．当的值无限趋向于0时，其平均速度就接近于一个定值．解：(1)设在3，3．1内的平均速度为，则=3．1－3=0．1s=s(3．1)－s(3)=－=0．305gm所以同理(2)当无限趋近于0时，无限趋近于常数3g(m/s)．例7求函数在处的导数．分析：根据导数的定义，应先计算函数的增量，再计算，最后求时，的值．解：当时，20，．例8某化工厂每日产品的总成本C(单位：元)是日产量x(单位：吨)的函数：．求当日产量为10

8、0吨时的边际成本(边际成本就是一段时间的总成本对该段时间产量的导数)．分析：根据边际成本的定义，本题只要求出当无限趋向于0时的值即可．解：成本的增量为==200＋当时，即的极限为225．故当日产量为100吨时的边际成本为225元/吨．点评：本题计算过程中注意分子有理化的技巧．4．自我检测(1)若函数f(x)=2x2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则等于．(2)函数在区间2，4上的平均变