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时间:2018-12-21
《高中数学 1.1导数的概念学案 苏教版选修2-2》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1章导数及其运用1.1导数的概念一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议导数的概念了解借助于导数概念形成的物理背景(瞬时速度)及几何背景(曲线切线的斜率)来理解如何从平均变化率过渡到瞬时变化率,从而抽象出导数的概念.导数的几何意义掌握理解导数的几何意义二、预习指导1.预习目标(1)本节主要通过对大量实例的分析,理解平均变化率的实际意义和数学意义,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程;(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义.2.预习提纲(1)回顾必修2中用来量化直线倾斜程度的斜率的计算公式.(2)阅读教材
2、,回答下列问题.1)平均变化率:怎样计算一个函数在一个给定的闭区间上的平均变化率?2)瞬时变化率的几何背景:曲线上一点处的切线的斜率①关于割线的斜率:设曲线C上一点P(x,f(x)),过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x+△x,f(x+△x)),则割线PQ的斜率是多少?②关于点P(x,f(x))处的切线:设曲线C上一点P(x,f(x)),过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x+△x,f(x+△x)).用运动的观点来看,在点P处的切线可以认为是过点P处的割线PQ的当Q无限靠近点P的极限位置,那么你能计算出切线的斜
3、率吗?说一说求曲线y=f(x)上任一点P(x0,f(x0))处的切线斜率的基本步骤.3)瞬时变化率的物理背景:瞬时速度与瞬时加速度①回忆物理学中对瞬时速度与瞬时加速度所下的定义.②给出位移-时间方程,如何求物体在时刻的瞬时速度?给出速度-位移方程,如何求物体在时刻的瞬时加速度?4)导数:从上述几何背景和物理背景中抽象出的数学概念①请表述出函数在某一点处的导数的概念.②请表述出导函数的概念,并表述导函数的具体的对应法则.③求导数的步骤是什么?④导数的几何意义是什么?⑤说一说利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤.
4、(3)阅读课本例题,思考下列问题.第7页上例4给我们的启示:一次函数f(x)=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率等于多少?对比第6页上例3与第9页上例1,给你怎样的启示?第13页上例3是求函数在一点处的导数,要注意表述格式的规范化.3.典型例题例1物体做直线运动的方程为s(t)=3t2-5t(位移单位是m,时间单位是s),求物体在2s到4s的平均速度以及2s到3s的平均速度.分析:利用公式.解:2s到4s的平均速度;2s到3s的平均速度例2已知函数f(x)=2x2+1,图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+,3
5、+),求分析:应用公式=解:=例3已知函数f(x)=x3,证明:函数f(x)在任意区间上的平均变化率都是正数.分析:应用公式=求出平均变化率,再进行配方.解:==恒为正数.例4已知曲线C:,求(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程;(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?解:(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1,切点P(1,1)设Q(1+,),=,时,3,过P点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0(2)由,可得,得从而求得公共点为(1,1)或(-2,-8).点评:切线与曲线C
6、的公共点除了切点外,还有另外的点.可见,直线与曲线相切不一定只有一个公共点.例5已知曲线上一点P(2,),求(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.分析:先求出切线的斜率,再由点斜式写出切线方程解:(1)设P(2,),Q(2+,),则割线PQ的斜率=,当时,4,即点P处的切线的斜率为4.(2)点P处的切线方程为,即.点评:本题若将“点P处”改为“过点P”,应该如何解答呢?例6自由落体运动方程为,(位移单位:m,时间单位:s),(1)计算t从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒各时间段内的平均速度;(
7、2)求t=3秒时的瞬时速度.分析:要求平均速度,就是要求的值,为此需要求出、.当的值无限趋向于0时,其平均速度就接近于一个定值.解:(1)设在3,3.1内的平均速度为,则=3.1-3=0.1s=s(3.1)-s(3)=-=0.305gm所以同理(2)当无限趋近于0时,无限趋近于常数3g(m/s).例7求函数在处的导数.分析:根据导数的定义,应先计算函数的增量,再计算,最后求时,的值.解:当时,20,.例8某化工厂每日产品的总成本C(单位:元)是日产量x(单位:吨)的函数:.求当日产量为100吨时的边际成本(边际成
8、本就是一段时间的总成本对该段时间产量的导数).分析:根据边际成本的定义,本题只要求出当无限趋向于0时的值即可.解:成本的增量为==200+当时,即的极限为225.故当日产量为100吨时的边际成本为225元/吨.点评:本题计算过程中注意分子有理化的技巧.4.自我检测(1)若函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则等于.(2)函数在区
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