高一数学《6.4.2反余弦函数、反正切函数》教案 沪教版

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1、6.4反三角函数（2）——反余弦函数、反正切函数【教学目标】【教学重点与难点】教学重点：理解反余弦函数和反正切函数的概念以及他们的符号的本质.教学难点：公式arccos（-x）=π-arccosx、arctan（-x）=-arctanx的证明及其使用.【教学过程】一、情景引入1．复习我们学习过反正弦函数，知道，对于函数y=sinx，x∈R，不存在反函数；但在[]存在反函数.2．思考这个区间的选择依据两个原则：（1）和y=tanx在所取对应区间上存在反函数；（2）能取到的一切函数值，y=tanx一切函数值R.可以选取闭区间[0，π]，使得在该区间上存在反

2、函数；可以选取闭区间（-，），使得y=tanx在该区间上存在反函数，这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反正切函数.二、学习新课1．概念辨析（1）反余弦函数和反正切函数的定义：余弦函数y=cosx，x∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx，x∈[-1，1]；正切函数y=tanx，x∈（-，）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx，x∈（-∞，∞）；（2）反正弦函数的性质：①图像y=arccosxy=arctanx②定义域：函数y=arccosx的定义域是[-1，1]；函数y=arctanx的定义域是R.③值域：函数y=ar

3、ccosx的值域是[0，π]；函数y=arctanx的值域是（-，）.④奇偶性：函数y=arccosx既不是奇函数也不是偶函数，但有arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]；函数y=arctanx是奇函数，即arctan（-x）=-arctanx.⑤单调性：函数y=arccosx是减函数；函数y=arctanx是增函数.[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线对称，函数y=cosx，x∈[0，π]与函数y=arccosx，x∈[-1，1]的图像关于直线对称；函数y=tanx，x∈（-，）与函数y=arctanx，x∈R的图像关于直线对

4、称.2．例题分析例1．求下列反三角函数的值：（1）arccos；（2）arccos（-）；（3）arccos0；（4）arctan1；（5）arctan（-）解：（1）因为cos=，且∈[0，π]，所以arccos=.（2）因为cos=-，且∈[0，π]，所以arccos（-）=.（3）因为cos=0，且∈[0，π]，所以arccos0=.（4）因为tan=1，且∈（-，），所以arctan1=.（5）因为tan（-）=-，且-∈（-，），所以arctan（-）=-.例2．在△ABC中，已知AB=5，BC=12，AC=13，分别用反正弦函数值、反余弦函

5、数值和反正切函数值表示∠A、∠B、∠C.解：因为AC2=AB2+BC2，所以∠B是直角，于是有∠A=arcsin=arccos=arctan；∠B==arcsin1=arccos0；∠C=arcsin=arccos=arctan.例3．化简下列各式：（1）arccos（cos）；（2）sin[arccos]；（3）cos[arctan（-1）]解：（1）因为∈[0，π]，设cos=α，所以arccosα=，即arccos（cos）=.（2）因为arccos=，所以sin[arccos]=sin=（3）因为arctan（-1）=-，所以cos[arcta

6、n（-1）]=cos(-)=.例4．求下列函数的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.(1)f（x）=+arccos；（2）f（x）=3π-arctan（2x-1）解：（1）设y=+arccos，则arccos=y-，因为∈[-1，1]，arccos∈[0，π]，所以x∈[-2，2]，y∈[，]，根据反余弦函数的定义，得=cos（y-），即x=2cos（y-）.将x，y互换，得反函数f-1（x）=2cos（x-），定义域是[，]，值域是[-2，2].（2）设y=3π-arctan（2x-1），即arctan（2x-1）=3π-y，因为（2x-

7、1）∈R，arctan（2x-1）∈（-，），所以x∈R，y∈（，），根据反正切函数的定义，得2x-1=tan（3π-y）=-tany，即x=（1-tany），将x，y互换，得反函数f-1（x）=（1-tanx），定义域是（，），值域是R.3．问题拓展例1．证明等式：arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]证明：∵x∈[-1，1]，∴-x∈[-1，1]∴cos[arccos（-x）]=-x，cos（π-arccosx）=-cos（arccosx）=-x又因为arccosx∈[0，π]，所以（π-arccosx）∈[0，π]，又arcc

8、os（-x）∈[0，π]，且余弦函数在[0，π]上单调递减，所以arccos（-x）=π-ar