反余弦函数和反正切函数

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1、南京市鼓楼中等专业学校教案授课日期年月日第周授课时数2课型新授课课题§8.3.2反余弦函数、反正切函数教学目标知识目标：①理解反余弦函数，反正切函数的概念；②掌握反余弦函数、反正切函数的定义域、值域；③知道反余弦函数和反正切函数的图象.能力目标：①能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角.②会用类比、数形结合等数学思想分析和思考问题.情感目标：渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力.教学重点难点重点：理解反余弦函数和反正切函数的概念以及

2、他们的符号的本质.难点：能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值.板书设计§8.3.2反余弦函数、反正切函数1、反余弦函数例1例22、反正切函数3、图象4、求值学情分析由于学生刚刚学完反正弦函数，本节课在巩固原有知识的基础上，通过类比由学生自己来得出反余弦、反正切函数的概念，并仿照反正弦函数的图象来探究反余弦、反正切函数的图象.教后记4教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计）师生活动一、情境导入1、复习我们学习过反正弦函数，知道，对于函数y=sinx，x∈R，不存在反函数；但在[]存在反函数.2

3、、思考：那么余弦函数和正切函数是否存在反函数呢？分析：因为对于任一余弦值和正切值都有无数个角值与之对应.余弦函数和正切函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.3、讨论：应该选取什么区间，使得或y=tanx存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）和y=tanx在所取对应区间上存在反函数；（2）能取到的一切函数值，y=tanx一切函数值R.可以选取闭区间[0，π]，使得在该区间上存在反函数；可以选取闭区间（-，），使得y=tanx在该区间上存在反函数，这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反

4、正切函数.二、新课讲解1、反余弦函数和反正切函数的定义：余弦函数y=cosx，x∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx，x∈[-1，1]；正切函数y=tanx，x∈（-，）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx，x∈（-∞，∞）.（2）反正弦函数的性质：①图象y=arccosxy=arctanx②定义域：函数y=arccosx的定义域是[-1，1]；函数y=arctanx的定义域是R.师：复习提问生：口答生讨论，得出区间的选择.生：仿照反正弦函数的定义给出反余弦、反正切函数的定

5、义.师：提示师：根据反函数的定义画出两个反函数的图象.4教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计）师生活动③值域：函数y=arccosx的值域是[0，π]；函数y=arctanx的值域是（-，）.④奇偶性：函数y=arccosx既不是奇函数也不是偶函数，但有arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]；函数y=arctanx是奇函数，即arctan（-x）=-arctanx.⑤单调性：函数y=arccosx是减函数；函数y=arctanx是增函数.结论：函数y=cosx，x∈[0，π]与函

6、数y=arccosx，x∈[-1，1]的图象关于直线对称；函数y=tanx，x∈（-，）与函数y=arctanx，x∈R的图象关于直线对称.三、例题讲解例1．求下列反三角函数的值：（1）arccos；（2）arccos；（3）arctan（-1）；（4）arctan解：（1）因为在[0，π]上，cos=，，所以arccos=.（2）因为在[0，π]上，cos=，，所以arccos=.（3）因为在（-，）上，tan（-）=-1，所以arctan（-1）=-.（4）因为在（-，）上，tan=，所以arctan

7、=.例2用反余弦函数表示适合下列条件的角（1），（2），解：（1）因为，，所以（2）因为，，所以或当，，生：观察图像得出两个反三角函数的性质.师：板书（1）（3）生：尝试做（2）（4）师：的范围超出反函数的定义域，需要注意分类.4当，.教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计）师生活动例3已知等腰三角形的两腰AB=AC=13cm，高AD=12cm，试用反正切函数表示各内角.解：如图，在△ABC中，作高AD交BC于D则，，.四、巩固练习1、教材P82练习8.3.2第1、2、32、求下列反三角函数的值：（1

8、）arccos；（2）arccos（-）；（3）arccos0；（4）arctan1；（5）arctan（-）.五、课堂小结1、反余弦函数和反正切函数的定义；2、反余弦函数和反正切函数的图象与性质.六、布置作业教材P83习题8.3A组1（3）（4）（5）（6）2（2）生：板演练习师：点评，订正师：回顾小结生：集体口答4