反余弦函数、反正切函数

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1、课题6.4:(2)反余弦函数、反正切函数教学目标1.理解反余弦函数y=arccosx,反正切函数y=arctanx的概念,掌握反余弦函数的定义域是[-1,1],值域是[0,π];反正切函数的定义域是(-∞,∞),值域是(-,).2.知道反余弦函数y=arccosx,x∈[-1,1]和反正切函数y=arctanx,x∈(-∞,∞)的图像.3.掌握等式cos(arccosx)=x,x∈[-1,1],arccos(-x)=π-arccosx,x∈[-1,1]和tan(arctanx)=x,x∈(-∞,∞),arctan(-x)=-arctanx,x∈(-∞,∞).4.能够熟练

2、计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值,并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角.教学重点及难点教学重点:理解反余弦函数和反正切函数的概念以及他们的符号的本质.教学难点:公式arccos(-x)=π-arccosx、arctan(-x)=-arctanx的证明及其使用.教学过程一、情景引入1.复习我们学习过反正弦函数,知道,对于函数y=sinx,x∈R,不存在反函数;但在[]存在反函数.2.思考那么余弦函数和正切函数是否存在反函数呢?[说明]因为对于任一余弦值和正切值都有无数个角值与之对应.余弦函数和正切函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.3.讨论余弦函数和

3、正切函数不存在反函数.但选取怎样的区间使得或y=tanx在对应区间上存在反函数呢.因变量可以确定自变量,余弦值或正切值可以表示相应的角值,并且将该区间上的角值用相应的余弦值或正切值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间,使得或y=tanx存在反函数呢?这个区间的选择依据两个原则:(1)和y=tanx在所取对应区间上存在反函数;(2)能取到的一切函数值,y=tanx一切函数值R.可以选取闭区间[0,π],使得在该区间上存在反函数;可以选取闭区间(-,),使得y=tanx在该区间上存在反函数,这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反正切函数.二、学习新课1.概念讲解(1)

4、反余弦函数和反正切函数的定义:余弦函数y=cosx,x∈[0,π]的反函数叫做反余弦函数,记作y=arccosx,x∈[-1,1];4正切函数y=tanx,x∈(-,)的反函数叫做反正切函数,记作y=arctanx,x∈(-∞,∞);(2)反正弦函数的性质:①图像y=arccosxy=arctanx②定义域:函数y=arccosx的定义域是[-1,1];函数y=arctanx的定义域是R.③值域:函数y=arccosx的值域是[0,π];函数y=arctanx的值域是(-,).④奇偶性:函数y=arccosx既不是奇函数也不是偶函数,但有arccos(-x)=π-arc

5、cosx,x∈[-1,1];函数y=arctanx是奇函数,即arctan(-x)=-arctanx.⑤单调性:函数y=arccosx是减函数;函数y=arctanx是增函数.2.例题分析例1.求下列反三角函数的值:(1)arccos;(2)arccos(-);(3)arccos0;(4)arctan1;(5)arctan(-)解:(1)因为cos=,且∈[0,π],所以arccos=.(2)因为cos=-,且∈[0,π],所以arccos(-)=.(3)因为cos=0,且∈[0,π],所以arccos0=.(4)因为tan=1,且∈(-,),所以arctan1=.(5

6、)因为tan(-)=-,且-∈(-,),所以arctan(-)=-.例2.在△ABC中,已知AB=5,BC=12,AC=13,分别用反正弦函数值、反余弦函数值和反正切函数值表示∠A、∠B、∠C.解:因为AC2=AB2+BC2,所以∠B是直角,于是有∠A=arcsin=arccos=arctan;∠B==arcsin1=arccos0;∠C=arcsin=arccos=arctan.例3.化简下列各式:4(1)arccos(cos);(2)sin[arccos];(3)cos[arctan(-1)]解:(1)因为∈[0,π],设cos=α,所以arccosα=,即arcc

7、os(cos)=.(2)因为arccos=,所以sin[arccos]=sin=.(3)因为arctan(-1)=-,所以cos[arctan(-1)]=cos(-)=.例4.求下列函数的反函数f-1(x),并指出反函数的定义域和值域.(1)f(x)=+arccos;(2)f(x)=3π-arctan(2x-1)解:(1)设y=+arccos,则arccos=y-,因为∈[-1,1],arccos∈[0,π],所以x∈[-2,2],y∈[,],根据反余弦函数的定义,得=cos(y-),即x=2cos(y-).将x,y互换,得反函数f-1(

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