反余弦函数、反正切函数

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1、课题6.4：(2)反余弦函数、反正切函数教学目标1．理解反余弦函数y=arccosx，反正切函数y=arctanx的概念，掌握反余弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[0，π]；反正切函数的定义域是（-∞，∞），值域是（-，）.2．知道反余弦函数y=arccosx，x∈[-1，1]和反正切函数y=arctanx，x∈（-∞，∞）的图像.3．掌握等式cos（arccosx）=x，x∈[-1，1]，arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]和tan（arctanx）=x，x∈（-∞，∞），arctan（-x）=-a

2、rctanx，x∈（-∞，∞）.4．能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角.教学重点及难点教学重点：理解反余弦函数和反正切函数的概念以及他们的符号的本质.教学难点：公式arccos（-x）=π-arccosx、arctan（-x）=-arctanx的证明及其使用.教学过程一、情景引入1．复习我们学习过反正弦函数，知道，对于函数y=sinx，x∈R，不存在反函数；但在[]存在反函数.2．思考那么余弦函数和正切函数是否存在反函数呢？[说明]因为对于任一余弦值和正切值都有无数个角值与之

3、对应.余弦函数和正切函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.3．讨论余弦函数和正切函数不存在反函数.但选取怎样的区间使得或y=tanx在对应区间上存在反函数呢.因变量可以确定自变量，余弦值或正切值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的余弦值或正切值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得或y=tanx存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）和y=tanx在所取对应区间上存在反函数；（2）能取到的一切函数值，y=tanx一切函数值R.可以选取闭区间[0，π]，使得在该区间上存在反函数；可以选取闭

4、区间（-，），使得y=tanx在该区间上存在反函数，这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反正切函数.二、学习新课1．概念讲解（1）反余弦函数和反正切函数的定义：余弦函数y=cosx，x∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx，x∈[-1，1]；4正切函数y=tanx，x∈（-，）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx，x∈（-∞，∞）；（2）反正弦函数的性质：①图像y=arccosxy=arctanx②定义域：函数y=arccosx的定义域是[-1，1]；函数y=arctanx的定义域是R.③值域：

5、函数y=arccosx的值域是[0，π]；函数y=arctanx的值域是（-，）.④奇偶性：函数y=arccosx既不是奇函数也不是偶函数，但有arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]；函数y=arctanx是奇函数，即arctan（-x）=-arctanx.⑤单调性：函数y=arccosx是减函数；函数y=arctanx是增函数.2．例题分析例1．求下列反三角函数的值：（1）arccos；（2）arccos（-）；（3）arccos0；（4）arctan1；（5）arctan（-）解：（1）因为cos=，且

6、∈[0，π]，所以arccos=.（2）因为cos=-，且∈[0，π]，所以arccos（-）=.（3）因为cos=0，且∈[0，π]，所以arccos0=.（4）因为tan=1，且∈（-，），所以arctan1=.（5）因为tan（-）=-，且-∈（-，），所以arctan（-）=-.例2．在△ABC中，已知AB=5，BC=12，AC=13，分别用反正弦函数值、反余弦函数值和反正切函数值表示∠A、∠B、∠C.解：因为AC2=AB2+BC2，所以∠B是直角，于是有∠A=arcsin=arccos=arctan；∠B==arcs

7、in1=arccos0；∠C=arcsin=arccos=arctan.例3．化简下列各式：4（1）arccos（cos）；（2）sin[arccos]；（3）cos[arctan（-1）]解：（1）因为∈[0，π]，设cos=α，所以arccosα=，即arccos（cos）=.（2）因为arccos=，所以sin[arccos]=sin=.（3）因为arctan（-1）=-，所以cos[arctan（-1）]=cos(-)=.例4．求下列函数的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.(1)f（x）=+arccos；

8、（2）f（x）=3π-arctan（2x-1）解：（1）设y=+arccos，则arccos=y-，因为∈[-1，1]，arccos∈[0，π]，所以x∈[-2，2]，y∈[，]，根据反余弦函数的定义，得=cos（y-），即x=2cos（y-）.将x，y互换，得反函数f-1（