高三数学第一轮复习 65 数列的通项公式（2）教学案（教师版）

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1、教案65数列的通项公式（2）一、课前检测1．（1）数列9，99，999，…的通项公式为；；（2）数列5，55，555，…的通项公式为。。2．已知数列中，，且，其前项和为，且当时，．（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式。解：（Ⅰ）当时，，化简得，又由，可推知对一切正整数均有，∴数列是等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列的首项为1，公比为，∴．当时，，又，∴二、知识梳理（一）数列的通项公式一个数列{an}的与之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．解读：（二）通项公式的求法（6种方法）5.构造

2、法构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.1）构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.2）构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数

3、列的通项公式.3）构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.4）构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.6.归纳猜想证明法解法：数学归纳法7．已知数列前项之积Tn，一般可求Tn-1，则an＝（注意：不能忘记讨论）.如：数列中，对所有的都有，则__________.三、典型例题分析题型5构造法：1）构造等差数列或等比数列例5设各项均为正数的数列的前n项和为，对于任意正整数n，都有等式：成立，求的通项.解：，∴，∵，∴.即是以2为公差的等差数列，且.∴变式训练5数列中

4、前n项的和，求数列的通项公式.解：∵当n≥2时，令，则，且是以为公比的等比数列，∴.小结与拓展：由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.题型6构造法：2）构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式。例6设是首项为1的正项数列，且，（n∈N*），求数列的通项公式an.解：由题设得.∵，，∴.∴题型7构造法：3）构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.例7数列中，，前n项的和，求

5、.解：，∴∴题型8构造法：4）构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.例8设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，，设，则是以2为公比的等比数列，.，，，∴变式训练5已知数列中，，n≥2时，求通项公式.解：∵，两边取倒数得.可化为等差数列关系式.∴题型9归纳猜想证明例9设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式解：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1

6、于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即Sn2－2Sn＋1－anSn＝0当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝由①可得S3＝由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…下面用数学归纳法证明这个结论(i)n＝1时已知结论成立(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝，当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即

7、Sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，又n＝1时，a1＝＝，所以｛an｝的通项公式an＝，n＝1，2，3，……四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.