数理方程第二版课后习题答案

《数理方程第二版课后习题答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第一章曲线论§1向量函数1.证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。略2.求证常向量的微商等于零向量。证：设，为常向量，因为所以。证毕3.证明证：证毕4.利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。证毕5.证明具有固定方向的充要条件

2、是。证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕6.证明平行于固定平面的充要条件是。证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，

3、又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕§2曲线的概念1.求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2.求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3.证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4.求悬链线从起计算

4、的弧长。解：5.求抛物线对应于的一段的弧长。解：6.求星形线，的全弧长。解：7.求旋轮线，对应于一段的弧长。解：8.求圆柱螺线从它与平面的交点到任意点的弧长。解：圆柱螺线与平面的交点为，交点对应的参数为，而，9.求曲线，在平面与平面之间的弧长。解：取为曲线参数，曲线的向量参数方程为：平面对应于参数，平面对应于参数，10.将圆柱螺线化为自然参数表示。解：，因为自然参数11.求极坐标方程给定的曲线的弧长表达式。解：极坐标方程给定的曲线的方程可化为向量参数形式：§3空间曲线1.求圆柱螺线在任意点的密切平面的方程。解：密切平面的方程为即2

5、.求曲线在原点的密切平面、法平面、从切平面、切线、主法线、副法线的方程。解：原点对应于参数,于是在处，密切平面的方程为副法线的方程为法平面的方程为：切线的方程为从切平面的方程为主法线的方程为3.证明圆柱螺线的主法线和轴垂直相交。证：一方面，主法线的方程为另一方面，过圆柱螺线上任意一点作平面π与轴垂直，π的方程为，π与轴的交点为，过与的直线显然与轴垂直相交，而其方程为这正是主法线的方程，故主法线和轴垂直相交。证毕4．在曲线的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。解：令，则曲线的方程可表示为：设的副法线向量为，则有根据

6、题意，新曲线的方程可表示为}将代入上式，整理后，得于是新曲线的密切平面为：即：5.证明球面曲线的法平面通过球的中心。证：设曲线为球心在原点，半径为的球面上的曲线,其中为自然参数。曲线(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。则有上式两边关于求导，得设为法平面上的点的向径，则曲线(C)上任意一点P处的法平面的向量方程为根据(2)式满足方程(3)，故法平面过原点。证毕6.证明过原点平行于圆柱螺线的副法线的直线的轨迹是锥面。证：设过原点且与平行的直线上的点为,则直线的方程为化为参数方程，得则有这说明直线上的点都在锥面上。证毕

7、7.求下列曲线的曲率和挠率。，解:对于曲线(1)对于曲线(2)8.给定曲线，求（1）基本单位向量，，；（2）曲率和挠率；（3）验证伏雷内公式。解:对于给定曲线，有其中，根据(5)(6)(8)式可得，根据(6)(9)(10)式，可得，又根据(6)式，得另一方面，根据(4)(7)(8)(10)式，可得从而，。9.证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。证1：设曲线(C)的向量参数方程为：，其中为自然参数。(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。因为(C)在P点处的切线都经过一定点Q（Q点的向径设为），所以

8、与共线，进而有(1)上式两端关于求导并利用Frenet公式，得：(2)(2)式中的为(C)在P点处的曲率。又(2)式中，这是因为如果，则同时与和共线，但这是不可能的，因为和是相互正交的单位向量。从而根据(2)式有，即(C)是直线。证毕证2：设曲线的