学案55曲线与方程

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1、学案55　曲线与方程导学目标：了解曲线的方程与方程的曲线的对应关系．自主梳理1．曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)__________________都是这个方程的______．(2)以这个方程的解为坐标的点都是________________，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．平面解析几何研究的两个主要问题(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过曲线的方程研

2、究曲线的性质．3．求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示________________________；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝____________；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为________；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在________．自我检测1．(2011·湛江月考)已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨

3、迹方程是(　　)A．y＝2x2B．y＝8x2C．2y＝8x2－1D．2y＝8x2＋12．一动圆与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心P的轨迹是(　　)A．双曲线的一支B．椭圆C．抛物线D．圆3．(2011·佛山模拟)已知直线l的方程是f(x，y)＝0，点M(x0，y0)不在l上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲线是(　　)A．直线lB．与l垂直的一条直线C．与l平行的一条直线D．与l平行的两条直线4．若M、N为两个定点且

4、MN

5、＝6，动点P满足·＝0，则P点的

6、轨迹是(　　)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线5．(2011·江西)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(　　)A．(－，)B．(－，0)∪(0，)C．[－，]D．(－∞，－)∪(，＋∞)探究点一　直接法求轨迹方程例1　动点P与两定点A(a,0)，B(－a,0)连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．变式迁移1　已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足

7、

8、

9、

10、＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为_

11、_____________．探究点二　定义法求轨迹方程例2　(2011·包头模拟)已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且

12、O1O2

13、＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．变式迁移2　在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是(　　)A.－＝1(y≠0)B.－＝1(x≠0)C.－＝1(y≠0)的左支D.－＝1(y≠0)的右支探究点三　相关点法(代入法)求轨迹方程例3　如图所示，从

14、双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程．变式迁移3　已知长为1＋的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且＝.求点P的轨迹C的方程．分类讨论思想的应用例　(12分)过定点A(a，b)任作互相垂直的两直线l1与l2，且l1与x轴交于点M，l2与y轴交于点N，如图所示，求线段MN的中点P的轨迹方程．多角度审题　要求点P坐标，必须先求M、N两点，这样就要求直线l1、l2，又l1、l2过定点且垂直，只要l1的斜率存在，设一参数k1即可求出P点坐标，再

15、消去k1即得点P轨迹方程．【答题模板】解　(1)当l1不平行于y轴时，设l1的斜率为k1，则k1≠0.因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－，l1的方程为y－b＝k1(x－a)，①l2的方程为y－b＝－(x－a)，②在①中令y＝0，得M点的横坐标为x1＝a－，[4分]在②中令x＝0，得N点的纵坐标为y1＝b＋，[6分]设MN中点P的坐标为(x，y)，则有消去k1，得2ax＋2by－a2－b2＝0(x≠)．③[8分](2)当l1平行于y轴时，MN中点为，其坐标满足方程③.综合(1)(2)知所求MN中点P的轨迹方程为2ax＋2

16、by－a2－b2＝0.[12分]【突破思维障碍】引进l1的斜率k1作参数，写出l1、l2的直线方程，求出M、N的坐标，求出点P的坐标，得参数方程，消参化为普通方程，本题还要注意直线l1的斜率是否存在．【易错点剖析】当AM⊥x轴时，AM的斜率不存在，此时MN中点为，易错点是把斜率不存在的情况忽略，因而丢掉点.1．求轨迹方程的常用方法