教学案例《曲线与方程》

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1、教学案例《曲线和方程》一、教学目标知识目标：1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3、学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；4、强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。能力目标：1、通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；2、在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；3、能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。情感目标：1

2、、通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；2、通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。二、重难点突破“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念是本节的重点，这是由于本节课是由直观表象上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延。由于学生已经具备了用方程表示直线、抛物线等实际模型，积累了感性认识的基础，所以可用举反例的方法来解决困惑，通过反例揭示“两者缺一”与直觉的矛盾，从而又促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义。为了强化其认识，又决定

3、用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系，并以此为工具来分析实例，这将有助于学生的理解，有助于学生通其法，知其理。三、教学过程1、感性认识阶段——以旧带新、提出课题幻灯片2画出方程表示的直线借助多媒体让学生直观上深刻体会如下结论：（出示幻灯片3）7幻灯片31、直线上的点的坐标都是方程的解；2、以这个方程的解为坐标的点都在直线上。即：直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系。也即：运用学生熟知的旧知识引入，再类比和推广，由特殊到一般地提出了课题，又为形成“曲线和方程”的概念提供了实际模型。但是如果就此而由教师直接给出结论，那就不仅会失去开发学生思维的机会

4、，影响学生的理解，而且会使教学变得枯燥乏味，抑制学生学习的主动性和积极性。（出示幻灯片4，引导学生类比、推广并思考相关问题）幻灯片4类比：推广：即：任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢？也即：方程的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程表示曲线C，同时曲线C也表示着方程？为什么要具备这些条件？7要启动学生的思维，就要有一个明确的可供思考的问题，使学生的思维有明确的指向。这里提出的思考题是以相信学生对用方程表示曲线的实事已有了初步的认识为前提，它可以说是本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮”。在思考题的后面加上了“为

5、什么”的问题，是为了给那些还记着“直线的方程”的定义的学生提供思考的余地，增大思考题的跨度。2、分化本质属性阶段——运用反例揭示内涵在以上讨论中，学生会有各种不同的意见，教师应予鼓励，并随时补正纠错，但不要急着把两个关系并列起来抛出定义，中断学生的探索性思维，而是再提出问题，深入探索。（出示幻灯片5，让学生回答问题，并加以纠正和总结）幻灯片5用下列方程表示如图所示的曲线C，对吗？为什么？师：方程⑴、⑵、⑶都不是曲线C的方程。第⑴题中曲线C上的点不全是方程的解；例如点A（－2，－2）、B（，）等即不符合“曲线上点的坐标都是方程的解”这一结论。第⑵题中，尽管“曲线上点的坐标

6、都是方程的解”，但是以方程的解为坐标的点却不全在曲线上；例如D（2，－2）、E（，）等不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论。第⑶题中既有以方程的解为坐标的点，如G（－3，3）、H（，）等都不在曲线上，又有曲线C上的点，如M（－3，－3）、N（－1，－1）等的坐标不是方程的解。事实上，⑴、⑵、⑶中各方程所表示的曲线应该是如图所示的3种情况。（出示幻灯片6）7幻灯片6在概念教学中，通过反例反衬，常常起着帮助学生理解概念的作用。反例一般应用在学生对概念有了初步的正面了解之后，这里却用在给出概念的定义之前，那是出于这样的考虑：⑴相信学生已经有了用方程表示曲线的经

7、验，已能从直觉上识别哪个方程能表示哪条曲线（当然是简单的例子），哪个方程不能表示哪条直线，缺少的只是用逻辑形式确切地加以陈述，给概念下定义；⑵将反例中出现的不完整性与直观引起矛盾，避免曲线和方程之间关系的不完整性，寻求做出必要的规定，这就是产生“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义过程。3、概括形成定义阶段——讨论归纳得定义师：在下定义时，针对幻灯片5中的第⑴个问题“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”应作何规定？生：“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”。师：针对幻灯片5中的第⑵个问题“以方程的解为坐标的点不在曲线上”应作何规定？生：“以方程