函数的应用解答题训练

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时间:2018-12-23

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1、函数的应用解答题训练(1)1.定义:对于函数,若在定义域内存在实数,满足,则称为“局部奇函数”.(1)已知二次函数,试判断是否为定义域上的“局部奇函数”?若是,求出满足的的值;若不是,请说明理由;(2)若是定义在区间上的“局部奇函数”,求实数的取值范围;(3)若为定义域上的“局部奇函数”,求实数的取值范围.2..定义在R上的函数及二次函数满足:且(1)求和的解析式;(2);(3)设,讨论方程的解的个数情况.3.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后

2、通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米,其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为,圆心角为(弧度).(1)求关于的函数关系式;(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为,求关于的函数关系式,并求出为何值时,取得最大值?4.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用一个单位的水可洗掉蔬菜上残留农药的,用水越多洗掉的农药量也越多,但总还有农药残留在蔬

3、菜上.设用单位量的水清洗一次以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数.⑴试规定的值,并解释其实际意义;⑵试根据假定写出函数应满足的条件和具有的性质;⑶设,现有单位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成两份后清洗两次.试问用那种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由.答案与解析1.  答案:(1)是“局部奇函数”;(2);(3).解析:试题分析:(1)利用局部奇函数的定义,建立方程关系,然后判断方程是否有解,有解则是“局部奇函数”,若无解,则不是;(2)(3)都是利用“局部

4、奇函数的定义”,建立方程关系,并将方程有解的问题转化成二次方程根的分布问题,从而求出各小问参数的取值范围.试题解析:(1)当,方程即,有解所以为“局部奇函数”(2)法一:当时,可化为因为的定义域为,所以方程在上有解令,则,设,则在上为减函数,在上为增函数,所以当时,,所以,即;法二:当时,可化为因为的定义域为,所以方程即在上有解令,则关于的二次方程在上有解即可保证为“局部奇函数”设,当方程在上只有一解时,须满足或,解之得(舍去,因为此时方程在区间有两解,不符合这种情况)或;当方程在上两个不等的实根

5、时,须满足参考答案,综上可知;(3)当为定义域上的“局部奇函数”时,可化为,令则,从而在有解,即可保证为“局部奇函数”令,则①当时,在有解,即,解得②当时,在有解等价于解得;综上可知.考点:1.新定义;2.函数与方程;3.一元二次方程根的分布问题.2.  答案:(1),(2),(3)当时,方程有个解;当时,方程有个解;当时,方程有个解;当时,方程有个解.解析:试题分析:(1)求函数解析式有不同的方法.满足可利用方程组求解,由解得:,而为二次函数,其解析式应用待定系数法求解可设,再根据三个条件且,列

6、三个方程组解得参考答案,(2)不等式恒成立问题常转化为最值问题,本题转化为左边最小值不小于右边最大值,右边函数无参数,先根据导数求出其最大值,这样就转化为二次函数恒不小于零的问题,利用实根分布可得到充要条件所以(3)研究解的个数问题,需先研究函数图像,解方程,实际有两层,由解得;再由得两个解,由得三个解,结合这些解的大小,可得到原方程解得情况.试题解析:(1),①即②由①②联立解得:.               2分是二次函数,且,可设,由,解得..           4分(2)设,,依题意知

7、:当时,,在上单调递减,                6分在上单调递增,解得:实数的取值范围为.     9分参考答案(3)设,由(2)知,的图象如图所示:设,则当,即时,,有两个解,有个解;当,即时,且,有个解;                 &3.  答案:(1);(2),当时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.解析:试题分析:(1)根据已知条件,将周长米为等量关系可以建立满足的关系式,再由此关系式进一步得到函数解析式:,即可解得;(2)根据题意及(1)可得花坛的面积为,装饰总费用为,因此可

8、得函数解析式,而要求的最大值,即求函数的最大值,可以考虑采用换元法令,从而,再利用基本不等式,即可求得的最大值:,当且仅当,时取等号,此时,,因此当时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.参考答案试题解析:(1)扇环的圆心角为,则,∴,     3分(2)由(1)可得花坛的面积为,   6分装饰总费用为,             8分∴花坛的面积与装饰总费用的,        10分令,则,当且仅当,时取等号,此时,,  12分答:当时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.      13

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