定积分的应用(21)

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1、《高等数学》Ⅱ—Ⅰ课程教案第六章定积分的应用本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。一、教学目标与基本要求：使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）二、本章各节教学

2、内容及学时分配：第一节定积分的元素法1课时第二节定积分在几何学上的应用3课时第三节定积分在物理学上的应用2课时三、本章教学内容的重点难点：找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法四、本章教学内容的深化和拓宽：指导学生用元素法解决其本专业的实际问题。五、本章的思考题和习题：第二节279页习题6—22，（1）、（3）；3，4，5，11，12，19，25，28。第三节287页习题6—31，3，4，5，11。第一节定积分的元素法一、内容要点1、复

3、习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义面积面积元素=2、计算面积的元素法步骤：（1）画出图形；（2）将这个图形分割成个部分，这个部分的近似于矩形或者扇形；（3）计算出面积元素；（4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。二、教学要求与注意点掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。第二节定积分在几何学上的应用一、内容要点1、在直角坐标系下计算平面图形的面积第六章定积分的应用第6页共6页《高等数学》Ⅱ—Ⅰ课程教案方法一面积元素=，面积=第一步：在边界方程中解出的两个表达式，.第二步：

4、在剩下的边界方程中找出的两个常数值，；不够时由解出，，，面积=方法二面积元素=，面积=第一步：在边界方程中解出的两个表达式，.第二步：在剩下的边界方程中找出的两个常数值，；不够时由解出，，，面积=例1求，围成的面积解，，，。当时，于是面积例2计算围成的面积解由，得，，当时面积==18。2、在曲边梯形、、、（）中，如果曲边的方程为参数方程为，则其面积=，其中例3求轴与摆线,围成的面积解面积　　　　例4星形线()围成的面积.解面积=第六章定积分的应用第6页共6页《高等数学》Ⅱ—Ⅰ课程教案3、极坐标系下计算平面图形的面积

5、。极坐标曲线围成的面积的计算方法：解不等式，得到。面积=4、平行截面面积为已知的空间物体的体积过轴一点作垂直于轴的平面，该平面截空间物体的截面面积为，,则该物体的体积例1一空间物体的底面是长半轴，短半轴的椭圆，垂直于长半轴的截面都是等边三角形，求此空间体的体积。解截面面积5、旋转体体积在上，曲线、直线围成的曲边梯形1）绕轴旋转一周形成旋转体，其截面面积，旋转体体积。2）绕轴旋转一周形成旋转体：位于区间[x,x+dx]上的部分绕轴旋转一周而形成的旋转体体积，原曲边梯形绕轴旋转一周形成的旋转体体积。例2摆线　与x轴围成

6、的图形1）绕轴旋转形成的旋转体体积=2）绕轴旋转形成的旋转体体积=3）绕旋转形成的旋转体的截面面积。绕旋转形成的旋转体体积　　　　例3求心形线与射线、围成的绕极轴旋转形成的旋转体体积解心形线的参数方程为，，旋转体体积==6、平面曲线的弧长第六章定积分的应用第6页共6页《高等数学》Ⅱ—Ⅰ课程教案曲线方程自变量的范围弧微分弧长显函数参数方程极坐标表中当时，，，，，弧微分。例1求摆线　的长解　，，。弧长例2摆线上求分摆线第一拱成1：3的点的坐标解　设A点满足要求，此时。根据例2摆线第一拱成弧长，。由条件弧OA的长为，即,

7、,点A的坐标为例3求星形线的全长解　星形线的参数方程为,,,，.弧长。例4求对数螺线上到的一段弧长解，弧长==二、教学要求与注意点掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积第三节定积分在物理学中的应用一、内容要点1、变力沿直线运动所做的功如左图，设dx很小，物体在变力的作用下从点x移动到点x+dx所做的功元素为，第六章定积分的应用第6页共6页《高等数学》Ⅱ—Ⅰ课程教案从点a移动到点b,在变力所做的功例1　一物体按规律直线运动，所受的阻

8、力与速度的平方成正比，计算物体从运动到时，克服力所做的功。解位于处时物体运动的速度，所受的阻力。如图从点x运动到点x+dx所做的功元素。物体从运动到时，克服力所做的功。例2　一个圆拄形水池，底面半径5米，水深10米，要把池中的水全部抽出来，所做的功等于多少？（水的密度=1）解　如图，将位于处、厚度为的薄层水抽出来，其质量密度体积，当薄层水的厚度很小时，所做的