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1、函数、导数及其应用第四节指数函数【高考目标定位】一、考纲点击1．了解指数函数模型的实际背景；2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4．知道指数函数是一类重要的函数模型。二、热点、难点提示1．指数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重点考查的对象，热点是指数函数的图象与性质的综合应用．同时考查分类讨论思想和数形结合思想；2．幂的运算是解决与指数有关问题的基础,常与指数函数交汇命题。【考纲知识梳理】1．根式（1）根式的概念根式的概念符号表示备注
2、如果,那么叫做的次方根当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数零的次方根是零当为偶数时,正数的次方根有两个,它们互为相反数负数没有偶次方根（2）．两个重要公式①；②。2．有理数指数幂（1）幂的有关概念①正整数指数幂:;②零指数幂:;③负整数指数幂:④正分数指数幂:;⑤负分数指数幂:⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=arbs(
3、a>0,b>0,r∈Q);.3．指数函数的图象与性质y=axa>100时，y>1;x<0时,00时，01(3)在（-，+）上是增函数（3）在（-，+）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的
4、左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。【热点、难点精析】一、指数幂的化简与求值1．相关链接指数幂的化简与求值的原则及结果要求（1）化简原则①化负指数为正指数；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序。注：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用性质运算。（2）结果要求①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；③结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂。2．例题解析〖例1〗（1）计算：；（2）化简：分析：（1）题目中给出的是分数指数幂，先看其是否
5、符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求。（2）因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算。解：（1）原式=；（2）原式=〖例2〗已知，求的值解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴二、指数函数的图象及应用1．相关链接（1）图象的变换1．平移变换规律 (1)水平平移：y=f(x+)的图象，可由y=f(x)的图象向左(>0),或向右(<0)平移
6、
7、个单位得到。 (2)垂直平移：y＝f(x)+b的图象，可由y＝f(x)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移
8、b
9、个单位得到。 2．对称变换规律
10、 (1)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称。 (2)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称。 (3)y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于直线y＝x对称。 (4)y=-f-1(-x)与y=f(x)的图象关于直线y＝-x对称。 (5)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称 3．伸缩变换规律 (1)水平伸缩：y=f(ωx)(ω>0)的图象，可由y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸长(0<ω<1)或缩短( ω＞1)到原来的倍(纵坐标不变)得到。 (2)垂直伸缩:y＝Af(x)(A＞0)的图象，可由y＝f(x)
11、的图象上每点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变)得到。 注：函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的图象变换规律，是上述平移变换与伸缩变换结合在一起的特殊情况，这一变换规律对一般函数y=Af(ωx+)(A>0,ω>0)也成立。（2）从图象看性质函数的图象直观地反映了函数的基本性质①图象在x轴上的身影可得出函数的定义域；②图象在y轴上的身影可得出函数的值域；③从左向右看，由图象的变化得出增减区间，进而得出最值；④由图象是否关于原点（或y轴）对称得出函数是否为奇（偶）函数；⑤由两个图象交战的横坐标可得方程的解。
12、2．例题解析〖例〗已知函数y=()
13、x+1
14、。（1）作出图象；（2）由图象指出其单调区间；（3）由图象指出当x取什么值时函数有最值。分析
