关于二阶常系数线性偏微分方程的求解

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1、关于二阶常系数线性偏微分方程的求解姓名：王仁康班级：数学101班学号：201000134115若方程的系数具体为两个自变量的常系数，则如下方程(1)其中a，b，c，d，e，g为实数，且a，b，c不全为零的解如何求得？选择变换和分类求解是主要方法.主要定理引理1若在区域上具有二阶连续偏导数，并且，则方程(1)利用可逆变换变换为以为自变量的二阶线性方程，其中,,,,。证明利用变换，函数成为自变量是的二元函数，根据复合函数求导法则得将上面各式带入(1)整理，结论成立.引理2对于方程(1)，若系数a，b，c满足:(1);(2)判别式，

2、当时，方程(1)分别对应为抛物型、双曲型、椭圆型方程.定理1若方程(1)中系数a，b，c满足(1),判别式，且；(2)沿其特征线做变换，则方程(1)化为一阶线性常微分方程.证明因为，所以此变换为可逆变换，利用引理1通过变换方程化为(2)式中系数:代入(2)得：.定理2若方程(1)中系数满足(1)，判别式，且d=g=e=0；(2)作变换，则方程(1)化为一阶线性常微分方程：。证明因为所以此变换为可逆，利用引理1通过变换方程化为(3)式中系数:代入(2)得(4)(4)式可通过分离变量法求解.定理3若方程(1)中系数满足(1)，判别

3、式，且d=g=e=0；(2)作变换，则方程(1)化为一阶线性常微分方程：.证明因为所以次变换为可逆变换，利用引理1通过变换方程化为(5)式中系数:代入(2)得(6)(6)式为Laplace方程形式.应用举例例1求解二阶线性方程(7)解：由于判别式，所以(7)式为抛物型方程.其特征方程为，特征线为：，作变换(7)式化为(8)由常微分方程知识易得：为任意常数.所求通解为：.例2(9)解：由于判别式，所以(9)式为双曲型方程.其特征方程,特征线为：，作变换(9)式化为(10)应用分离变量法，设解的形式为：，代入(10)式，得因为左右

4、两边独立，所以必同为一个常数.当，解得，所以有一套分离变量的解为:4种编配，所求方程的解为：4中编配；当，解得，所以有一套分离变量的解为：4中编配，所求方程的解为：4种编配.例3(11)解：由于判别式，所以(11)式为椭圆型方程.其特征方程为;特征线为：.作变换(11)式化为.此式为Laplace的形式，其解为，所以原方程的解为.