二阶常系数齐次线性微分方程求解方法.doc

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1、第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:方程y¢¢+py¢+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、q均为常数.如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.我们看看,能否适当选取r,使y=erx满足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=erx代入方程y¢¢+py¢+qy=0得(r2+pr+q)erx=0.由此可见,只要r满足代数方程r

2、2+pr+q=0,函数y=erx就是微分方程的解.特征方程:方程r2+pr+q=0叫做微分方程y¢¢+py¢+qy=0的特征方程.特征方程的两个根r1、r2可用公式求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时,函数、是方程的两个线性无关的解.这是因为,函数、是方程的解,又不是常数.因此方程的通解为.(2)特征方程有两个相等的实根r1=r2时,函数、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为,是方程的解,又,所以也是方程的解,且不是常数.因此方程的通解为.(3)特征方程有一对共轭复根r1,2=a±ib时,函数y=e(a+ib)x、y=e(a-i

3、b)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.函数y1=e(a+ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解,而由欧拉公式,得y1=e(a+ib)x=eax(cosbx+isinbx),y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx),y1+y2=2eaxcosbx,,y1-y2=2ieaxsinbx,.故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程解.可以验证,y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的线性无关解.因此方程的通解为y=eax(C1cosbx+C2sinbx).

4、求二阶常系数齐次线性微分方程y¢¢+py¢+qy=0的通解的步骤为:第一步写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步求出特征方程的两个根r1、r2.第三步根据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解.