二阶常系数齐次线性微分方程课件.pptx

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1、二阶线性常系数齐次微分方程任务要点1、二阶线性常系数齐次微分方程2、微分方程的特征方程3、二阶线性常系数齐次微分方程通解的求解步骤教学过程课前准备概念学习知识推导结论形成巩固练习小组成果展示课后作业课前准备1、一元二次方程的求解2、基本初等函数的导数公式3、二阶线性微分方程解的结构定理求解下列一元二次方程解答解答解答二阶线性微分方程解的结构定理如果y1、y2是二阶线性微分方程的两个线性无关的解那么yC1y1C2y2就是微分方程的通解方程为二阶线性常系数微分方程为二阶线性常系数齐次微分方程概念学习p,q是

2、常数,f(x)称为自由项.r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程.特征方程及其根特征方程的求根公式为将yerx代入方程ypyqy0得(r2prq)erx0分析考虑到当y,y,y为同类函数时有可能使ypyqy恒等于零而函数erx具有这种性质所以猜想erx是方程的解二阶齐次线性方程通解的求法由此可见只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是微分方程的解(1)当时,方程有两个相异实根则微分方程有两个线性无关的特解:因此方程的通

3、解为设r1,r2是特征方程的两个根.(2)当时,特征方程有两相等实根则微分方程有一个特解设另一特解为,(u(x)待定).是特征方程的重根取u=x,得因此原方程的通解为得:代入原微分方程(3)当时,方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程线性无关特解:因此原方程的通解为有两个不相等的实根r1、r2有一对共轭复根r1,2iyex(C1cosxC2sinx)下页特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况有两个相等的实根

4、r1r2第一步写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步求出特征方程的两个根r1、r2第三步根据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解.求y+py+qy=0的通解的步骤:下页有两个不相等的实根r1、r2有一对共轭复根r1,2iyex(C1cosxC2sinx)特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况有两个相等的实根r1r2下页有两个不相等的实根r1、r2有一对共轭复根r1,2iyex(C1cos

5、xC2sinx)特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况有两个相等的实根r1r2因此微分方程的通解为yC1exC2e2x例1求微分方程yy2y0的通解解微分方程的特征方程为r2r20特征方程有两个不相等的实根r11r22即(r1)(r2)0下页有两个不相等的实根r1、r2有一对共轭复根r1,2iyex(C1cosxC2sinx)特征方程的根与通解的关系有两个相等的实根r1r2特征方

6、程有两个相等的实根r1r21例2求方程y2yy0的通解解微分方程的特征方程为r22r10即(r1)20因此微分方程的通解为yC1exC2xex即y(C1C2x)ex方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况下页通解形式r24r80特征方程的根为r122ir222i是一对共轭复根因此微分方程的通解为ye2x(C1cos2xC2sin2x)例3求微分方程y4y8y0的通解有两个不相等的实根r1、

7、r2有一对共轭复根r1,2iyex(C1cosxC2sinx)特征方程的根与通解的关系有两个相等的实根r1r2解微分方程的特征方程为方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况练习巩固求下列微分方程的通解小组成果展示总结反馈3.在学习方法上你有哪些体会？2.你会解决哪些新问题？1.你学习了哪些内容？布置作业继续探究阅读教材章节13.5思考书写P288习题13-5Thankyou!