二阶常系数线性偏微分方程求解定理

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1、(自然科学版)JournalofHefeiUniversity(NaturalSciences)2008年2月第18卷第1期Feb.2008Vol.18No.1二阶常系数线性偏微分方程求解定理111,2李志强,王显春,钟太勇(1.云南民族大学数学与计算机科学学院,昆明650031;2.郧阳师范高等专科学校数学系,湖北十堰442000)摘要:两个自变量的二阶常系数偏微分方程auxx+2buxy+cuyy+dux+euy+g=0,当系数满足一定条件时,可利用变换T:ξ=φ(x,y),η=<(x,y)化为简单微分方程求解,结合所定

2、条件给出了判定定理和应用方法.关键词:偏微分方程;特征线;特征方程中图分类号:O175.23文献标识码:A文章编号:1673-162X(2008)01-0025-041研究背景文献[1]讨论了一般退化中立型微分系统的解,若将方程的系数具体为两个自变量的常系数,则如下[2]2方程auxx+2buxy+cuyy+dux+euy+g=0,(x,y∈V

3、1若ξ=φ(x,y);η=<(x,y)在区域V

4、x,y);η=<(x,y),函数u(x,y)成为自变量是ξ,η的二元函数,根据复合函数求导法则得ux=φxuξ+

5、;Δ=p,p>0;Δ=-p,p>0时方程(1)分别对应为抛物型、双曲型、椭圆型方程.定理1若方程(1)中系数a,b,c满足2bd(1)a≠0,判别式Δ=b-ac=0,且e=;a收稿日期:2007-08-31修回日期:2007-10-31作者简介:李志强(1972—)男,河南开封人,云南民族大学数学与计算机科学学院硕士研究生.26合肥学院学报(自然科学版)第18卷bξ=φ(x,y)=y-x,(2)沿其特征线a做变换,则方程(1)化为一阶线性常微分方程η=<(x,y)=xauηη+duη+g=0.-b9(φ,<)1证明因为=a≠

6、0,所以此变换为可逆变换,利用引理1通过变换方程化为9(x,y)10Auξξ+2Buξη+Cuηη+Duξ+Euη+g=0,(2)2222b-b-b+ac式中系数A=aφx+2bφxφy+cφy=a2+2b+c==0,aaa22B=aφx

7、=b-ac=p,p>0,且d=g=e=0;bξ=φ(x,y)=y-x,a(2)作变换则方程(1)化为一阶线性常微分方程:uξξ-uηη=0.pη=<(x,y)=-x,a-b19(φ,<)a证明因为=≠0所以此变换为可逆变换,利用引理1通过变换方程化为9(x,y)-p0aAuξξ+2Buξη+Cuηη+Duξ+Euη+g=0,(3)22222b-b-b+ac-p式中系数A=αφx+2bφxφy+cφy=a2+2b+c==,aaaa222pB=aφx

8、=,aD=dφx+eφy+aφxx+2bφxy=cφyy=0,E=d0,且d=g=e=0;