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1、极限运算中的注意事项数学与应用数学专业学生董贵敏指导教师申莹摘要：极限是数学分析的核心，求解极限有很多方法和技巧.通过结合具体的例子介绍了求解极限的方法，指出了在解题过程中常见的一些问题.只有在求解极限的过程中选择合适的方法，化繁为简，才能更加有效、快速的得出答案.文章第一部分介绍了求函数极限的方法，该部分是全文的重点，利用经典的洛必达法则、泰勒公式等八种方法求取函数极限.第二部分介绍了求数列极限的方法，利用定义和级数的性质求取.第三部分是函数极限与数列极限的结合，文中也介绍了三种方法来求取.关键词：极限洛必达法则泰勒公式Attentionmatters
2、oflimit-solvingStudentmajoringinmathematicsandappliedmathematicsDongGuiminTutorShenYingAbstract:Limitisthecoreofthemathematicalanalysis,andtherearemanymethodsandskillsinsolvinglimit.Thispaperintroducesmanymethodsoflimit-solvingandpointsoutproblemswithspecificexamples.Peoplecouldm
3、akeabetterchoiceandsimplifiesproblemsinsolvinglimits,andthengettheanswereffectivelyandquickly.Thefirstpartintroducesthemethodoffunctionlimit,anditisthefocusofthefulltextofthispart,usingtheclassichospital'sruleandtaylorformulaofothereightkindsofmethodsforfunctionlimit.Thesecondpar
4、tintroducesthemethodofsequencelimit,anditwasobservedusingthedefinitionandthepropertiesoftheseries.Thethirdpartisthecombinationoffunctionlimitandthesequencelimit.Thispaperalsointroducesthreemethodstoobtainthelimit.Keywords:limit;infinitesimalsubstitution;taylorformula引言函数的极限是数学分析中
5、最基本的内容之一,数学分析中的基本概念的表述,都可以用极限来描述.如函数在处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分、三重积分的定义,无穷级数收敛的定义,都是用极限来定义的.利用函数的极限不但可以解决量的均匀变化与非均匀变化的矛盾,而且也可以解决有限与无限量的问题.高等数学很多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化,离开了极限的思想高等数学就失去了基础,失去了价值.因此,本文在根据极限的概念,运算法则,及其它性质和定理求极限的基础上针对第二个问题对极限运算中经常存在的问题进行讨论.1求函数极限的方法1．1利用极限的四则运算性质若,,14(I)(
6、II)(III)若,则：（IV）（c为常数）上述性质对于.例1求.解:原式=====例2求.解:原式===注意事项：(1)对等各类未定式不能直接用上面的方法,在未定式中最基本的是与型,其他类型应经地过恒等变形转化为基本型之一.求或型极限的方法有多种:一种技巧是设法消去分子,分母中极限为0或的因子,14转化为可运用四则法则的情形型.(2)若,不存在也不为,则，,均不存在也不为,但是,当,都不存在也不为时,求的极限可能存在也可能不存在,因此对于具体的问题要作具体分析,才能得出正确的结果.1．2利用两个重要极限利用两个重要极限公式求极限时,必须把它化为两个重要
7、极限的形式.但我们经常使用的是它们的变形：(常用于含三角函数式的型);(常用于型).例3求.解：令,则,当时,原式=例4求.解：原式==14=.注意事项：利用求函数极限须注意到：（1）函数的特点是形式.（2）有时常需要用到三角函数公式或“变量替换”等方法,化为标准型,从而求出极限.利用,求函数极限时需注意：（1）函数的特点是幂指函数型,其底为1加一个无穷小量,指数为无穷大量,两者恰好互为倒数.（2）常常要对因数的自变量做适当的变换,使之变成标准型,然后再求极限.1．3利用等价无穷小量代换例5求.解:当时,,,,=.注意事项：(1)要准确的记住一些等价无穷
8、小量关系式当时,,,,,,,(为常数).14(2)只能把分子分母中的无穷小因子用
