北京大学附中2014届高三数学一轮复习 导数及其应用单元训练

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1、北京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题　共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a为实数，函数，若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，则a的取值范围是()A．B．C．D．【答案】D2．设为曲线上的点,且曲线在点处切线倾斜角的取值范围是,则点横坐标的取值范围是()A．B．C．D．【答案】A3．等于()A．B．2C．D．【答案】D

2、4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2，2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2，2]；②f(x)的极值点有且仅有一个；③f(x)的最大值与最小值之和等于0．其中正确的结论有()A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C5．函数在点处的切线的斜率为()A．B．C．D．1【答案】C6．,若,则的值等于()A．B．C．D．【答案】D7．已知，则等于()A．0B．－4C．－2D．2【答案】B8．如下图，阴影部分的面积是()A．B．C．D．【

3、答案】C9．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为()A．B．C．D．【答案】A10．已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．B．C．D．【答案】C11．曲线y=有一条切线与直线3x+y=0平行，则此切线方程为()A．x-3y+l=0B．3x+y-5=0C．3x-y-l=0D．3x+y-l=O【答案】D12．函数和的图像围成了一个封闭图形,则此封闭图形的面积是()A．4B．C．D．【答案】C第Ⅱ卷(非选择题　共90分)二、填空题(本大题共

4、4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最小值是。【答案】-1514．设曲线在点处的切线与轴，轴所围成的三角形面积为，则的最大值为____________．【答案】15．函数的单调递减区间为____________；【答案】16．定积分的值为．【答案】1三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知,,其中是自然常数）.(Ⅰ）求的单调性和极小值；(Ⅱ）求证：在上单调递增；(Ⅲ）求证：.【答案】（Ⅰ），∴当时，，此时单

5、调递减当时，，此时单调递增∴的极小值为(Ⅱ）当时，，在上单调递增(Ⅲ）的极小值为1，即在上的最小值为1，∴，∴18．设函数（）．(Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值.【答案】（Ⅰ）因为，所以，且．所以．所以曲线在点处的切线方程是，整理得．(Ⅱ）由（Ⅰ）知．令，解得或．当时，，变化情况如下表：因此，函数，的最大值为0，最小值为.19．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点．(1)求b的值；(2)求f(2)

6、的取值范围．【答案】(1)∵f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.∵f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，∴当x＝0时，f(x)取到极小值，即f′(0)＝0.∴b＝0.(2)由(1)知，f(x)＝－x3＋ax2＋c，∵1是函数f(x)的一个零点，即f(1)＝0，∴c＝1－a.∵f′(x)＝－3x2＋2ax＝0的两个根分别为x1＝0，x2＝．∵f(x)在(0,1)上是增函数，且函数f(x)在R上有三个零点，∴x2＝>1，即a>．∴f(2)＝－8＋4a＋(1－a)＝3a－7>－．故f

7、(2)的取值范围为．20．已知函数在处取得极值，记点.⑴求的值；⑵证明：线段与曲线存在异于、的公共点；【答案】解法一：∵，依题意，∴，（2分）由，得令，的单调增区间为和，，单调减区间为所以函数在处取得极值。故所以直线的方程为由得令，易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点。解法二：同解法一，可得直线的方程为由得解得所以线段与曲线有异于的公共点。21．设函数.(1)求函数的最小值；(2)设，讨论函数的单调性；(3)斜率为的直线与曲线交于、两点，求证：.【答案】，令，得.∵当时，；当时，∴当

8、时，.(2)，.①当时，恒有，在上是增函数；②当时，令，得，解得；令，得，解得综上，当时，在上是增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减.(3).要证，即证，等价于证，令，则只要证，由知，故等价于证(*).①设，则，故在上是增函数，∴