北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试：导数及其应用

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1、北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题　共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为(　　)A．－B．C．－D．[来源:Z#xx#k.Com]【答案】B2．已知，则为(）A．-2B．-1C．0D．1【答案】B3．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是()A．B．C．D．【答案】C4．已知函数在上是单调函数,则实数的取值范

2、围是（）A．B．C．D．【答案】B5．设函数，其中，则导数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D6．对正整数,设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为,则数列的前项和的公式是()A．B．C．D．答案：D7．设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是（）【答案】D8．若对任意x∈R,,f(1)=-1，则f(x)是(）A．B．C．D．【答案】B9．函数的极大值为6,极小值为2,则的减区间是（）A．(-1，1）B．(0，1）C．(-1，0）D．(-2，-1）【答案】A10．函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件

3、D．必要非充分条件【答案】D11．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(　　)A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件【答案】C12．已知二次函数的图象如下图所示，则其导函数′的图象的大致形状是（）【答案】C第Ⅱ卷(非选择题　共90分)[来源:学+科+网]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．某日中午时整，甲船自处以的速度向正东行驶，乙船自的正北处以的速度向正南行驶，则当日时分时两船之间距离对时间的变化

4、率是_____________.[来源:Z

5、xx

6、k.Com]【答案】-1.614．设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是__________．【答案】15．已知函数的图象与轴切于非原点的一点，且，那么，【答案】6，916．若函数(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.【答案】三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知函数，.(1）求函数的单调区间和值域.(2）设，函数，，若对于任意　总存在使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）

7、且的增区间减区间.,,的值域(2）在上是减函数.值域为由题意使需18．已知函数是定义在实数集R上的奇函数，当＞0时，(1）已知函数的解析式；[来源:学科网](2）若函数在区间上是单调减函数，求a的取值范围；(3）试证明对.【答案】（1）时，所以(2）函数是奇函数，则在区间上单调递减，当且仅当在区间上单调递减，当时，由＜0得＜在区间（1，+）的取值范围为所以a的取值范围为(3）解得（11分），因为1＜e—1＜e，所以为所求.19．已知函数(Ⅰ）求函数的极值；(Ⅱ）求证：当时，(Ⅲ）如果，且，求证：【答案】⑴∵=，∴=．令=0，解得．1＋0－↗极大值↘　∴当时，

8、取得极大值=．　⑵证明：,则=．　当时，＜0，＞2，从而＜0，∴＞0，在是增函数．⑶证明：∵在内是增函数，在内是减函数．∴当，且时，、不可能在同一单调区间内．∴，由⑵的结论知时，＞0，∴．∵，∴．又，∴　20．已知函数．(1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；[来源:Zxxk.Com](2）若函数在上的最小值为3，求实数的值．【答案】（1）∵，∴．∵在上是增函数，∴≥0在上恒成立，即≤在上恒成立．[来源:学科网]令，则≤．∵在上是增函数，∴．∴≤1．所以实数的取值范围为．(2）由（1）得，．[来源:学

9、科

10、网][来源:学。科。网][来源:学#科#网]①若

11、，则，即在上恒成立，此时在上是增函数．所以，解得（舍去）．②若，令，得．当时，，所以在上是减函数，当时，，所以在上是增函数．所以，解得（舍去）．③若，则，即在上恒成立，此时在上是减函数．所以，所以．综上所述，．21．已知函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝2x2＋b，它们的图象在x＝1处有相同的切线．(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(2)如果F(x)＝f(x)－mg(x)在区间［，3］上是单调增函数，求实数m的取值范围．【答案】(1)f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝4x，由条件知，∴，∴,∴f(x)＝x3＋x，g(x)＝2x2.(2)F(x)＝f

12、(x)－mg(x)＝x3＋x－2mx2，∴F′(x)