交大附中2014版高考数学第一轮复习训练导数及其应用(w

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1、上海交通大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题　共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数图象上任意点处切线的斜率为，则的最小值是()A．B．C．D．【答案】A2．曲线在点（1，1）处的切线方程为()A．B．C．D．【答案】B3．曲线在点P（1，0）处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是()A．B．C．D．【答案】C4．曲线y=x3+x-2在点P0处的切线

2、平行于直线y=4x，则点P0的坐标是()A．(0,1)B．(1,0)C．(-1,-4)或（1,0）D．(-1,-4)【答案】B5．设，则的值为()A．B．C．D．【答案】C6．设函数f′（x）=x2+3x－4，则y=f（x+1）的单调递减区间为()A．（－4，1）B．（－5，0）C．（）D．（）【答案】B7．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量x()A．大于零B．小于零C．等于零D．不等于零【答案】D8．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为()A．（，1）B．（，+）C．（，）D．（，+）【答案】B9．已知等差数列的前n项和为，又知，且，，则为()A．33B．46C．48

3、D．50【答案】C10．曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为()A．(1,0)B．(2,8)C．(1,0)或(－1,－4)D．(2,8)和或(－1,－4)【答案】C11．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为()A．B．C．D．【答案】A12．曲线在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．-9B．-3C．9D．15【答案】C第Ⅱ卷(非选择题　共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则=__

4、__________【答案】14．函数的单调增区间为.【答案】15．曲线y=3x2与x轴及直线x＝1所围成的图形的面积为．【答案】116．=。【答案】三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3元和5元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？【答案】解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D

5、点xkm,则∵BD=40,AC=50－,∴BC=又设总的水管费用为y元，依题意有：=3(50－x)+5y′=－3+,令y′=0,解得=30在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在=30(km)处取得最小值，此时AC=50－=20(km)∴供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省.解法二：设∠BCD=,则BC=,CD=,设总的水管费用为f(θ),依题意，有(θ)=3(50－40·cotθ)+5=150+40·∴(θ)=40令(θ)=0,得cosθ=根据问题的实际意义，当cosθ=时，函数取得最小值，此时sinθ=,∴cotθ=,∴AC=50－40c

6、otθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省.18．已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值．(I）求a，b的值；(II）判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．【答案】(1)因为函数f(x)＝ax2＋blnx，所以f′(x)＝2ax＋．又函数f(x)在x＝1处有极值，所以即解得(2)由(1)可知f(x)＝x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－＝．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数y＝f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．19．设，向量，函数的图象经过坐标原点，是函数

7、的导函数．已知，，．(Ⅰ）求的解析式；(Ⅱ）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求的取值范围；(Ⅲ）若，设数列满足．求证：．【答案】（I）∵，∴．令，则，解得．∴．∵的图象过原点，∴．(II）原方程可以整理为．令，则．由有或，且当或时，当时．∴在时，在上是减函数，在上是增函数，∴在上．又，∴要使原方程在上有两个不相等的实数根，则须使．即的取值范围为．(III）时，．∴)，整理得()．变形得，令，则，()．两边同取对数有，即．令，则，且，∴-1>2(-1)()，∴