2014届高考数学大一轮复习 9.8 曲线与方程试题(含解析)新人教a版

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1、9.8曲线与方程一、选择题1.已知两定点A(1,1),B(-1,-1),动点P满足·=,则点P的轨迹是(  )A.圆B.椭圆C.双曲线D.拋物线解析设点P(x,y),则=(1-x,1-y),=(-1-x,-1-y),所以·=(1-x)(-1-x)+(1-y)(-1-y)=x2+y2-2.由已知x2+y2-2=,即+=1,所以点P的轨迹为椭圆.答案 B2.已知点F,直线l:x=-,点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是(  ).A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线解析 由已知:

2、MF

3、=

4、MB

5、.由抛物线定义知,点M的轨迹是以F为焦点,l为

6、准线的抛物线,故选D.答案 D3.长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动,=2,则点C的轨迹是(  )A.线段B.圆C.椭圆D.双曲线解析设C(x,y),A(a,0),B(0,b),则a2+b2=9,①又=2,所以(x-a,y)=2(-x,b-y),即②代入①式整理可得x2+=1.答案C4.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为(  ).A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1解析 M为AQ垂直平分线上一点,则

7、AM

8、=

9、MQ

10、,∴

11、MC

12、+

13、MA

14、=

15、MC

16、+

17、MQ

18、

19、=

20、CQ

21、=5,故M的轨迹为椭圆,∴a=,c=1,则b2=a2-c2=,∴椭圆的标准方程为+=1.答案 D5.已知二面角α-l-β的平面角为θ,点P在二面角内,PA⊥α,PB⊥β,A,B为垂足,且PA=4,PB=5,设A,B到棱l的距离分别为x,y,当θ变化时,点(x,y)的轨迹方程是(  )A.x2-y2=9(x≥0)B.x2-y2=9(x≥0,y≥0)C.y2-x2=9(y≥0)D.y2-x2=9(x≥0,y≥0)解析实际上就是求x,y所满足的一个等式,设平面PAB与二面角的棱的交点是C,则AC=x,BC=y,在两个直角三角形Rt△PAC,Rt△PBC中其斜边相等,根据勾股定理即

22、可得到x,y所满足的关系式.如图,x2+42=y2+52,即x2-y2=9(x≥0,y≥0).答案 B6.△ABC的顶点A(-5,0)、B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是(  )A.-=1B.-=1C.-=1(x>3)D.-=1(x>4)解析 如图

23、AD

24、=

25、AE

26、=8,

27、BF

28、=

29、BE

30、=2,

31、CD

32、=

33、CF

34、,所以

35、CA

36、-

37、CB

38、=8-2=6.根据双曲线定义,所求轨迹是以A、B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,方程为-=1(x>3).答案 C7.

39、y

40、-1=表示的曲线是(  ).A.抛物线B.一个圆C.两个圆D.两个半圆解析 原方程等价于⇔⇔

41、或答案 D二、填空题8.在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点在轴上,离心率为。过的直线交于两点,且的周长为16,那么的方程为。答案9.在△ABC中,A为动点,B、C为定点,B,C(a>0),且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是________.解析 由正弦定理:-=×,∴

42、AB

43、-

44、AC

45、=

46、BC

47、,且为双曲线右支.答案 -=1(x>0且y≠0)10.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0)、B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是____________.解析设抛物线焦点为F,过A、B、O作准线的垂线AA1、BB1、OO

48、1,则

49、AA1

50、+

51、BB1

52、=2

53、OO1

54、=4,由抛物线定义得

55、AA1

56、+

57、BB1

58、=

59、FA

60、+

61、FB

62、,∴

63、FA

64、+

65、FB

66、=4,故F点的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).答案+=1(y≠0)11.已知P是椭圆+=1上的任意一点,F1、F2是它的两个焦点,O为坐标原点,=+,则动点Q的轨迹方程是______________.解析 由=+,又+==2=-2,设Q(x,y),则=-=-(x,y)=,即P点坐标为,又P在椭圆上,则有+=1,即+=1.答案 +=112.曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹

67、,给出下列三个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于坐标原点对称;③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于a2.其中,所有正确结论的序号是________.解析①曲线C经过原点,这点不难验证是错误的,如果经过原点,那么a=1,与条件不符;②曲线C关于原点对称,这点显然正确,如果在某点处

68、PF1

69、

70、PF2

71、=a2,关于原点的对称点处也一定符合

72、PF1

73、

74、PF2

75、=a2;③三角形的面积S△F1F2P2≤,很显然S△F1F2P=

76、PF1

77、

78、PF2

79、sin∠

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