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1、多元函数积分1.利用积分区域的对称性化简多元函数的积分1.1利用积分区域的对称性化简多元函数的重积分题型一计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的重积分类型（一）计算积分区域具有对称性、被积函数具有奇偶性的二重积分常用下述命题简化计算二重积分.命题1若f(x,y)在积分区域D上连续，且D关于y轴（或x轴）对称，则（1）f(x,y)是D上关于x（或y）的奇函数时，有；（2）f(x,y)是D上关于x（或y）的偶函数时，有；其中D1是D落在y轴（或x轴）一侧的那一部分区域.命题2若D关于x轴、y轴对称，D1为D中对应于x≥0,y≥0（或x≤0,y≤0）的部分，则命题3设积分区域D对称于原点
2、，对称于原点的两部分记为D1和D2.（1）（2）命题4积分区域D关于具有轮换对称性，则记D位于直线y=x上半部分区域为D1,则类型（二）计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的三重积分.常用下述命题简化具有上述性质的三重积分的计算.命题1若Ω关于xOy平面对称，而Ω1是Ω对应于z≥0的部分，则若Ω关于yOz平面（或zOx平面）对称，f关于x（或y）为奇函数或偶函数有类似结论.命题2若Ω关于xOy平面和xOz平面均对称（即关于x轴对称），而Ω1为Ω对应于z≥0,y≥0的部分，则若Ω关于xOz平面和yOz平面均对称（即关于z轴对称），或者关于xOy平面和yOz平面均对称，那么也有类似结论
3、.命题3如果积分区域Ω关于三个坐标平面对称，而Ω1是Ω位于第一象限的部分，则命题4若积分区域Ω关于原点对称，且被积函数关于x,y,z为奇函数，即题型三计算积分区域具有轮换对称性的三重积分命题5如果积分区域关于变量x,y,z具有轮换对称性（即x换成y,y换成z,z换成x，其表达式不变），则.1.2利用积分区域的对称性化简第一类曲线积分、曲面积分题型一计算积分曲线（面）具有对称性的第一类曲线（面）积分类型（一）计算积分曲线具有对称性的第一类曲线积分命题1.2.1设曲线L关于y轴对称，则其中L1是L在x≥0的那段曲线，即L1是L在y轴右侧的部分；若曲线L关于x轴对称，则有上述类似结论.命题1.
4、2.2设f(x,y)在分段光滑曲线L上连续，若L关于原点对称，则其中L1为L的右半平面或上半平面部分.类型（二）计算积分曲面具有对称性的第一类曲面积分第一类曲面积分的奇偶对称性与三重积分类似，可利用下述命题简化计算.命题1.2.3设积分曲面Σ关于yOz对称，则其中Σ1是Σ在yOz面的前侧部分.若Σ关于另外两坐标面有对称性，则有类似结论.注意不能把Σ向xOy面上投影，因第一类曲面积分的Σ投影域面积不能为0.题型二计算平面积分曲线关于y=x对称的第一类曲线积分命题1.2.4若L关于直线y=x对称，则.题型三计算空间积分曲线具有轮换对称性的第一类曲线积分命题1.2.5若曲线Γ方程中的三变量x,
5、y,z具有轮换对称性，则.1.3利用积分区域的对称性化简第二类曲线积分、曲面积分题型一计算积分曲线具有对称性的第二类曲线积分第二类曲线积分的奇偶对称性与第一类曲线积分相反，有下述结论.命题1.3.1设L为平面上分段光滑的定向曲线，P(x,y),Q(x,y)连续，（1）L关于y轴对称，L1是L在y轴右侧部分，则（2）L关于x轴对称，L1为L在x轴上侧部分，则（3）L关于原点对称，L1是L在y轴右侧或x轴上侧部分，则（4）L关于y=x对称，则即若L关于y=x对称，将x与y对调，则L关于直线y=x翻转，即L化为L—.因而第二类曲线积分没有轮换对称性.题型二计算积分曲面具有对称性的第二类曲面积分
6、命题1.3.2设Σ关于yOz面对称，则其中Σ1是Σ在yOz面的前侧部分.这里对坐标y和z的第二类曲面积分只能考虑Σ关于yOz面的对称性，而不能考虑其他面，这一点也与第一类曲面积分不同.2.交换积分次序及转换二次积分题型一交换二次积分的积分次序※直接例题，无讲解.题型二转换二次积分转换二次积分是指将极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分转换成直角坐标系（或极坐标系）下的二次积分.由极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分的内外层积分限写出相应的二重积分区域D的极坐标（或直角坐标）表示，再确定该区域D在直角坐标系（或极坐标系）中的图形，然后配置积分限.3.计算二重积分题型一计算被积函数分区域给出的
7、二重积分含绝对值符号、最值符号max或min及含符号函数、取整函数的被积函数，实际上都是分区域给出的函数，计算其二重积分都需分块计算.题型二计算圆域或部分圆域上的二重积分当积分区域的边界由圆弧、过原点的射线（段）组成，而且被积函数为或的形状时，常作坐标变换，利用极坐标系计算比较简单.为此，引进新变量r,θ,得到用极坐标（r，θ）计算二重积分的公式：（其中rdθdr是极坐标系下的面积元素）.用极坐标系计算的二重积分，就积分区域来说，常
