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1、定积分曲面积分开曲面闭合曲面Ⅰ型曲面积分Ⅱ型曲面积分曲线积分开曲线闭合曲线Ⅰ型曲线积分Ⅱ型曲线积分重积分三重积分二重积分累次积分三次积分二次积分多元函数积分学计算方法总结多元函数积分学计算方法总结1累次积分2★A1[积分限是常数的二次积分]2★A2[积分限含函数的二次积分]2重积分:2★B1[积分区域为矩形的二重积分]2★B2[积分区域为平面区域的二重积分]3★B3[积分区域为无孔洞的立体区域的三重积分]3★B4[收敛的广义重积分]4曲线积分:4★C1[I型曲线积分]4★C2[II型曲线积分]4★C3[全微分式II型曲
2、线积分]4★C4[平面闭曲线的II型曲线积分]4★C5[平面非闭合曲线的II型曲线积分]5曲面积分:5★D1[I型曲面积分]5★D2[直角坐标系的II型曲面积分]5★D3[向量式的II型曲面积分]5★D4[闭曲面情形的曲面积分]6★D5[开曲面情形的曲面积分]6★D6[循环常数]6约定:,,,为已知常数,是已知的弧度,是原空间直角坐标系分量,是新变量同时也是变量代换函数记号,是球坐标极坐标柱坐标系的分量,是积分限函数,表示积分函数,表示现有变量的全微分,是场向量函数的分量,均为的函数.表示空间曲线,表示空间曲面,表
3、示空间区域,表示取上述区域的边界或变量的偏微分.是带方向的曲线,是带方向的曲面区域,(黑斜体)是法向量或者说曲面积分元.累次积分二次积分也写作;三次积分★A1[积分限是常数的二次积分]求法:,把x当作常数,只对y求原函数并求出积分值g(x)(可能和x无关).然后将它作为新的被积函数,也就是计算，即可得到累次积分的积分值.性质:①分量积分顺序改变,积分值不变;①;②分离分量因子后分别积分的乘积等于原积分值;②③被积函数可加性.③★A2[积分限含函数的二次积分]求法:先将x看成常数,求出f关于y的原函数g(y)(可能含有x
4、);再将作为关于x的新的被积函数;最后算出定积分的值.重积分:二重积分;三重积分★B1[积分区域为矩形的二重积分]求法:把积分区域的矩形化为区间的乘积的形式[a,b]×[c,d],被积函数不变,区间端点按分量顺序作为二次积分的积分限.积分区域为长方体的三重积分求法类似.★B2[积分区域为平面区域的二重积分]求法:定下分量的积分顺序,如先y后x,那么先写出中所有点的x分量的最小值a,最大值b,以取得上述最值的点为端点,将的边界分成下半边界C(x)和上半边界D(x).那么可以化为被积函数不变,先对积分区间为从C(x)到D(
5、x)的y分量积分,再对积分区间为[a,b]的x分量积分的二次积分.积分区域为无孔洞的立体区域的三重积分也有类似的方法.性质:①变量代换后积分值不变;如极坐标变换故有新的限制;球坐标变换故有新限制,.②积分值与积分顺序无关,但对应的累次积分不同;②③零函数或零测度集上的重积分必为零.③三重积分的积分区域若是面、线、点,则积分值为零,二重积分的积分区域是线、点时,积分值为零.★B3[积分区域为无孔洞的立体区域的三重积分]求法:定下分量的积分顺序,如先(y,z)后x,那么先解出的不等式(组)关于g(y,z)的解,即有平面区域
6、.继而有被积函数不变,视x为常数,关于(y,z)的二重积分,随后做关于x分量的第二次积分.类似的积分顺序也可以是先(x,y)后z.★B4[收敛的广义重积分]求法:只要广义重积分是收敛的,就可以按照一般重积分的求法求得收敛值.曲线积分:Ⅰ型曲线积分;Ⅱ型曲线积分★C1[I型曲线积分]求法:首要任务是将积分曲线L的方程参数化,用参数t表示,并且表示出积分区间.将参数方程代入被积函数,弧微分ds按公式计算即可得到定积分.★C2[II型曲线积分]求法:将积分曲线L的方程参数化,用参数t表示,并且表示出积分区间.函数P,Q,R中
7、的变量换为t后乘上对应分量关于t的导数作为新的被积函数,做关于t的积分.但注意这里的曲线是有向的,右手法则下逆时针取正,顺时针取负.★C3[全微分式II型曲线积分]求法:若(二元),,且则该空间曲线微分是全微分式(恰当)的.对微分形式凑微分得到原函数F,再代入积分区间即可得结果.注意这里曲线也是有方向的.★C4[平面闭曲线的II型曲线积分]求法:对场向量的分量函数P,Q求全微分,形如,并与原对应分量取外微分,作为二重积分的微分形式.二重积分的区域是以L为边界的曲面.★C5[平面非闭合曲线的II型曲线积分]求法:补上一条
8、连接端点的线段,然后以作为闭曲线化为二重积分,并加上的反方向的的曲线积分.性质:①被积函数曲面与区域公用对称轴/对称面时,前者在后者两侧(奇),则积分值为零,前者在后者的同侧(偶),则积分值等于积分区域取一半的积分值的两倍.②函数中的分量交换后函数相似的,积分值相等.曲面积分:Ⅰ型曲面积分;Ⅱ型曲面积分:直角坐标式;向量式★D1[
