《基本初等函数》word版

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1、函数的概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)

2、x∈A}叫做函数的值域。注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。2．构成函数的三要

3、素：定义域、对应关系和值域3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示。5．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f

4、：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”。映射和函数的区别：映射是两个集合之间的对应关系，集合A所有元素在B中有元素对应，集合B中的元素在A中不一定有对应的元素。但是函数，自变量x所有的值在因变量y里面都有对应，而因变量y的所有元素在自变量x中也有对应；6．分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；7．复合函数若y=f(u)，u=g(x),xÎ(a，b)，uÎ(m,n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。典例解析题型1：函数概念1

5、.设函数f（x）＝，则满足f（x）=的x值为。2.设（）A．0　B．1C．2D．3题型2：判断两个函数是否相同1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。题型3：函数定义域问题1.求下述函数的定义域：（1）；解：（1），解得函数定义域为.2.已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：(1)；(2)。解：（1）由0＜x＜2，得3.已知函数f（x

6、）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a＞B．－12＜a≤0C．－12＜a＜0D．a≤解：由a=0或可得－12＜a≤0，答案B。题型4：函数值域问题例5．求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；解：（1）（配方法），∴的值域为。改题：求函数，的值域。解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，∴当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为。∴函数，的值域为。（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为。又∵，∴，故，∴的值域为。（3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，∴原函数的值域为。（法二）分离变量法：，∵，∴，∴函数的

7、值域为。题型5：函数解析式例6．（1）已知，求；（2）已知，求；解：（1）∵，∴（或）。（2）令（），则，∴，。题型6：函数应用例1．某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：=12，所以这时租

8、出了88辆车。（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050。所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050。即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.函数的性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x

9、)为偶函数。由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇