《不定积分练习》word版

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1、第6章不定积分§1不定积分概念和运算法则引入：不定积分问题是微分问题的反问题,积分运算是微分运算的反运算,即已知一个函数的导数求这个函数;从几何上讲已知一条曲线的切线斜率求这条曲线的方程;从物理上讲已知变速直线运动的瞬时速度求运动方程.一.原函数与不定积分:1原函数：例1填空:;(;;;;.定义1设函数与在区间上都有定义.若则称是在区间上的一个原函数.原函数问题的基本内容:存在性,个数,求法.⑴原函数的存在性:连续函数必有原函数.(下章给出证明).可见,初等函数在其定义域内有原函数;若在区间上有原函数,则在区间上有介值性(Darboux定理).⑵原函数的个

2、数:Th若是在区间上的一个原函数,则对—Const，都是在区间上的原函数；若也是在区间上的原函数，则必有.可见,若有原函数,则的全体原函数所成集合为{│Ｒ}.例2已知为的一个原函数,=5.求.2不定积分——原函数族:定义,不定积分的记法,几何意义.例3;.3不定积分的基本性质:以下设和有原函数.76⑴.(先积后导,形式不变).⑵.(先导后积,多个常数)⑶时，⑷由⑶、⑷可见,不定积分是线性运算,即对,有(当时,上式右端应理解为任意常数).例4.求.(=2).二.不定积分基本公式:基本积分表.[1]P179公式1—14.例5.三．利用初等化简计算不定积分:例6

3、.求.例7.例8.例9.例10⑴;⑵例11.76例12.§2换元积分法与分部积分法一.第一类换元法——凑微法：由引出凑微公式.Th1若连续可导,则该定理即为:若函数能分解为就有.例1.例2.例3凑法1例4例5例676例7由例4—7可见，常可用初等化简把被积函数化为型，然后用凑法1.例8⑴.⑵.凑法2.特别地,有和.例9.例10例11.例12=.凑法376例13⑴⑵例14例15例16凑法4.例17凑法5例18凑法6.例19.其他凑法举例:例20.例21例2276.例23.例24.例25例26.；二.第二类换元法——拆微法：从积分出发，从两个方向用凑微法计算，

4、即===引出拆微原理.Th2设是单调的可微函数,并且又具有原函数.则有换元公式(证)常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,Euler代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换.1.三角代换:⑴正弦代换:正弦代换简称为“弦换”.是针对型如的根式施行的,目的是去掉根号.方法是:令,则76例27解法一直接积分;解法二用弦换.例28.（参阅例11）例29.⑵正切代换:正切代换简称为“切换”.是针对型如的根式施行的,目的是去掉根号.方法是:利用三角公式即令.此时有变量还原时,常用所谓辅助三角形法.例30.解令有.利用例22的结果,并用辅助三角形,

5、有==例31⑶正割代换:正割代换简称为“割换”.是针对型如的根式施行的,目的是去掉根号.方法是利用三角公式令有76变量还愿时,常用辅助三角形法.例32解.例33.解法一（用割换）解法二（凑微）参阅[1]P196E10.2.无理代换:若被积函数是的有理式时,设为的最小公倍数,作代换,有.可化被积函数为的有理函数.例34.例35.若被积函数中只有一种根式或可试作代换或.从中解出来.76例36.例37例38(给出两种解法)例39.本题还可用割换计算,但较繁.2.双曲代换:利用双曲函数恒等式,令,可去掉型如的根式..化简时常用到双曲函数的一些恒等式,如:例40.本

6、题可用切换计算,但归结为积分,该积分计算较繁.参阅后面习题课例3.例41(例30曾用切换计算过该题.现用曲换计算).解76.例42.(例32曾用割换计算过该题.现用曲换计算).解2.倒代换:当分母次数高于分子次数,且分子分母均为“因式”时,可试用倒代换例43.5万能代换:万能代换常用于三角函数有理式的积分(参[1]P194).令,就有，，例44.解法一(用万能代换).76解法二(用初等化简).解法三(用初等化简,并凑微)例45解=.代换法是一种很灵活的方法.二.分部积分法:Th3(分部积分公式)若与可导,不定积分存在,则也存在,并有=,简写为=.将分部积分

7、公式进行排列得分部积分算式:求导数求积分+－规定:斜向乘积带“+”是已经积出的函数,横向乘积带“－”是新的被积函数.函数介绍使用分部积分公式的一般原则.1.幂X型函数的积分:分部积分追求的目标之一是:对被积函数两因子之一争取求导,以使该因子有较大简化,特别是能降幂或变成代数函数.代价是另一因子用其原函数代替(一般会变繁),但总体上应使积分简化或能直接积出.对“幂”型的积分,使用76分部积分法可使“幂”降次,或对“”求导以使其成为代数函数.例46(幂对搭配)例47(幂三搭配)例48(幂指搭配)例49(幂指搭配)求导数求积分+－2+0　注:分部积分算式可以连续

8、多次使用,所有的斜向乘积都是已经积出的函数,所带的符号是先“+”后