《不定积分概念》word版

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1、第4章不定积分第4章不定积分第1节原函数与不定积分的概念1.1原函数与不定积分定义1.1设函数和都在上有定义。如果在上（或），则称都在上是的导函数而是的原函数。例如，是的导函数而是的原函数；是的导函数而是的原函数；是的导函数而是的原函数；是的导函数而是的原函数；等等。定理1.2设在上有原函数，则是在上的全部原函数，其中是任意常数。证、在上。是的原函数，所以。都是的原函数。设是的任意一个原函数。则。存在常数使得即。故是在上的全部原函数，其中是任意常数。-183-第4章不定积分定义1.2设函数在上有定义。如果是的一个随便固定的原函数。则的全部原函

2、数称为在上的不定积分，记为注意：有的函数有原函数，而有的函数没有原函数。例如狄利克雷函数。定理1.1在上连续的函数一定有原函数，从而一定有不定积分。题目（考点）：求给定函数的不定积分。（以前我们是知道原函数求导函数，现在是反过来知道导函数求不定积分。）解法：（1）求出的一个原函数；（2）的不定积分。验证是否的不定积分就是验证是否。【例1.2】　求下列不定积分：(1)()；(2)；(3)．解、（1）是的一个原函数，所以的不定积分（2）是的一个原函数，所以的不定积分（3）是的一个原函数，所以的不定积分-183-第4章不定积分不定积分与被积函数的关

3、系：（1）或者；（2）。设。曲线称为的积分曲线。如果要从这无穷多积分曲线确定过的一条，。所以为所求。【例1.3】　求曲线，使得在曲线上的每一点处的切线斜率为，且曲线通过点．解、。。所求曲线是。我们已经懂得很多函数的导数，反过来，我们已经懂得很多函数的不定积分。例如把初等函数的基本求导公式反过来再加上任意常数就得到基本积分表（见P180）。背熟用熟积分表！！求不定积分的根本方法：千方百计地把要求的不定积分变成积分表中有的不定积分，然后写出要求的不定积分。以上“千方百计”一词的含义：（1）不惜一切代价；（2）求不定积分讲究方法性和技巧性；（3）求

4、不定积分的方法和技巧较多，即使同一个不定积分也有很多不同的求法，并且不同方法可能得到不同的结果表达式。（思考：这不同的结果表达式之间有什么关系？）以后我们的任务就是要积累熟练“千方百计”。-183-第4章不定积分1.3不定积分的线性运算法则（线性性）（1）；（2）（右边只写一个任意常数）。验证、；。（（2）可推广到多个。）【例1.6】　求下列不定积分：(1)(2)(3)(4).解、变成积分表中有的积分。（1）（2）-183-第4章不定积分（3）【例1.7】　求下列不定积分：(1)(2)　(3)解、变成积分表中有的积分。（1）（2）（3）（三角

5、公式以后要经常用。）-183-第4章不定积分习题讲解1.求下列不定积分:(2)(7)解、（1）。（7）。3.已知在上连续，在内，且，求．解、。B类1.求下列不定积分：(7)(16)解、（7）。（16）。思考题：1.说明在或上有原函数，但在上没有原函数．（在原点不连续）思考题：-183-第4章不定积分2.不定积分与原函数这两个概念有什么区别？有什么联系？（不定积分是全体原函数）思考题：3.若在区间内有原函数，那么在内是否一定连续？原函数是否一定连续？的任何两个原函数一定相差一个常数吗？区间内的不连续函数是否一定没有原函数？（都是）4.奇函数的原

6、函数必是偶函数，偶函数的原函数必是奇函数，对吗？（前对后不对。P82B类1（1））习题4－1A类1.求下列不定积分:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)（为正常数）(9)2.一曲线通过点且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．3.已知在上连续，在内，且，求．B类1.求下列不定积分：*(1)*(2)(3)*(4)(5)(6)-183-第4章不定积分(7)*(8)*(9)*(10)(11)(12)*(13)*(14)(15)*(16)2.一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是，问在3（s）后物体离开出发点的距离和

7、物体走完360(m)所需的时间各是多少？3.设为单调连续函数，是它的反函数，证明：若,则*4.设是的一个原函数，且，，求．-183-