《无穷小量》word版

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1、《数学分析I》第6讲教案第6讲无穷小量与无穷大量授课题目无穷小量与无穷大量教学内容1.无穷小量与无穷大量的概念,2.无穷小（大）量阶的比较，即高阶无穷小、同阶无穷小、等阶无穷小,3.等阶无穷小的替换定理，4.曲线的渐近线．5.函数极限的归结原理，教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念，会对无穷小量与无穷大量进行比较；会利用等阶无穷小的替换定理计算某些极限；会求曲线的渐近线．对于成绩较好的学生要求他们能理解函数极限的归结原理。教学重点及难点教学重点：无穷小量比较，等阶无穷小的替换定理；教学难点：无穷小量与无穷大量的阶数教学方法及

2、教材处理提示(1) 要强调无穷小量是一个以零为极限的函数（变量），而不是一个很小很小的常数。(2)本讲的重点是等价无穷小量及其替换定理，着重讲授常见的等价无穷小量及其它们在极限计算中的应用．(3)穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念是本讲的难点，要求较好的学生会熟练使用“”与“”进行运算．作业布置作业内容：教材:1（3,4），2(2,3)，4(3),5（2,3），9.讲授内容一、无穷小量与无穷小数列的概念相类似，我们给出关于函数为无穷小量的定义．定义1设在某内有定义．若，则称为当时的无穷小量．若函数g在某内有界，则称g为当时的有界量．类似地定义当以及时的无穷小量与有界量．例如，

3、与都是当时的无穷小量，是当时的无穷小量,而为时的无穷小量.又如时当时的有界量，是当时的有界量．性质1．两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量．性质2．无穷小量与有界量的乘积为无穷小量．例如，当时，是无穷小量，为有界量，故由性质2即得，函数的图象如图3-6所示.显然推出如下结论:是当时的无穷小量.二、无穷小量阶的比较无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢．为此，我们考察两个无穷小量的比，以便对它们的收敛速度作出判断．设当时，与g均为无穷小量．5《数学分析I》第6讲教案1．若，则称当时为g的高阶无穷小量,或称g为的低阶无穷小量，记作.特别，为

4、当时的无穷小量记作.由于．故有2．若存在正数K和L，使得在某上有则称与g为当时的同阶无穷小量．特别当时，与g必为同阶无穷小量．例如，当时，与皆为无穷小量．由于,所以与为当时的同阶无穷小量．又如，当时，与都是无穷小量,由于它们之比的绝对值满足，所以与为当时的同阶无穷小量．3．若，则称与时当时的等价无穷小量.记作.例如，，故有．又故有．以上讨论了两个无穷小量阶的比较．但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较．例如，当时，和都是无穷小量，但它们的比，当时不是有界量，所以这两个无穷小量不能进行阶的比较.定理3.12设函数在内有定义，且有.（1）若，则；（2）若，则.证：（

5、1），（2）可类似地证明．例1求。解：由于，，故有.例2利用等价无穷小量代换求极限.5《数学分析I》第6讲教案解：由于，而，故有．注：在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.如在例2中，若因有，，而推出，则得到的是错误的结果．三、无穷大量定义2设函数在某内有定义．若对任给的，存在，使得当时，有，则称函数当时有非正常极限，记作.若换成“”或“”，则分别称当.时有非正常极限或记作:或.例3证明证：任给，要使，只要，因令则对一切，这就证明了．例4证明：当时，证：任给（妨设)，要使，

6、由对数函数的严格增性，只要，因此令，则对一切有．这就证得．注1无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数．如由例3知是当时的无穷大量，由例4知是当时的无穷大量．注2若为时的无穷大量，则易见为上的无界函数．但无界函数却不一定是无穷大量．如在上无界，因对任给的取这里正整数，则有5《数学分析I》第6讲教案但，因若取数列则,而.定理3.13（i）设在内有定义且不等于0.若为时的无穷小量，则为时的无穷大量.（ii）若为时的无穷大量，则为时的无穷小量.四、曲线的渐近线由平面解析几何知道，双曲线有两条渐近线（图3-7）.渐近线定义如下：定义4：若曲线上的动点沿着曲线无限地远离原点时，点与

7、某定直线的距离趋于，则称直线为曲线的渐近线(图3—8)．下面我们讨论曲线在什么条件下存在斜渐近线与垂直渐近线，以及怎样求出渐近线方程.现假设曲线有渐近线.如图3—8所示，曲线上动点到渐近线的距离为由渐近线的定义，当时，既有或，又由得到，由上面的讨论可知，函数有斜渐近线.若函数满足（或，）.则按渐近线的定义可知，曲线有垂直于轴的渐近线，称为垂直渐近线.例5求曲线的渐近线.5《数学分析I》第6讲教案解：由，得.再由，得从而求得此曲线的斜渐近线方程为又由易见，，所以此曲线有垂直渐近线和.五、函数极