高三数学总复习 2.2 函数的性质教学案 新人教版必修1

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1、§2.2函数的性质一、知识导学　　1.函数的单调性：　（1）增函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1)

2、偶性：　（1）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.　（2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.　（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.　　3.函数的图像：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到平面内的一个点（x0,f(x0)），当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数y=f(x)的图像.二、疑难知识

3、导析　　1.对函数单调性的理解，函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.2.对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是对定

4、义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映.这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.　　3.用列表描点法总能作出函数的图像，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图像的特点，如二次函数图像是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的.三、经典例题导讲[例1]判断函数的单调性.错解：是减函数错因：概念不清，导致判断错误.这是一个复合函数，而复合函数的单调性（或单调区间），仍是从基础函数的单调

5、性（或单调区间）分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为，从而可判断出其单调性.正解：　令，则该函数在R上是减函数，又在R上是减函数，∴　是增函数[例2]判断函数的奇偶性.错解：∵＝　　∴　　∴是偶函数错因：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.正解：有意义时必须满足即函数的定义域是｛｜｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数[例3]判断的奇偶性.错解：∵　　　∴且　　　所以该函数既不是奇函数也不是偶

6、函数错因：对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)，也可改为研究f(-x)+f(x)=0，f(-x)-f(x)＝0是否成立.正解：方法一：∵＝＝＝－∴是奇函数　　方法二：∵＝　　∴是奇函数[例4]函数y=的单调增区间是_________.错解：因为函数的对称轴是，图像是抛物线，开口向下，由图可知在上是增函数，所以y=的增区间是错因：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误.正解：y=的定义域是，又在区间上增函数，在

7、区间是减函数，所以y=的增区间是[例5]已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范围.错解：∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=　f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0解得x>2或x<－3又f(x)是定义在(－3，3)上的函数，所以2＜x＜3错因：只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域.正解：由,故0