高三数学 2.2函数的单调性复习学案

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1、四川省古蔺县中学高三数学复习学案：2.2函数的单调性【高考目标导航】一、考纲点击1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值。二、热点、难点提示1．利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点；2．利用函数的单调性求最值，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点；3．题型以选择题和填空题为主，与导数知识点交汇时则以解答题的形式出现。【考纲知识梳理】一、函数的单调性（1）单调函数的定义（2）单调区间的定义若函数f(x)在区间

2、D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做f(x)的单调区间。注：①单调区间是定义域的子区间②函数的单调性反映在图象上是在某一区间上是上升的或下降的；而最大（小）值反映在图象上为其最高（低）点的纵坐标的值。二、函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意x∈I，都有f(x)≤M存在x∈I，使得f(x)=M对于任意x∈I，都有f(x)≥M存在x∈I，使得f(x)=M结论M为最大值M为最小值注：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素

3、；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在。相关提示：①函数的单调区间与该函数定义域间的关系函数的单调区间是该函数定义域的子集；函数的定义域不一定是函数的单调区间。②一个函数在定义域内的单调性与在某几个子区间上的单调性的关系如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增（减）函数，不能说这个函数在定义域上是增（减）函数，如函数③相同单调性函数的和、差、积、商函数的单调性两个增（减）函数的和函数仍是增（减）函数，但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定，同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定。④奇函

4、数在对称区间上的单调性奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。因此，具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性。⑤求函数单调性解题策略看函数的类型，如果是基本函数，常常记住函数的单调区间；如果是复杂函数，常常利用导数进行研究；如果是抽象函数，常常利用定义解决，或者借助图象，或者用具体函数代替处理。【要点名师透析】一、函数单调性的判定1、用定义证明函数单调性的一般步骤，即：（1）取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1

5、f(x1)-f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。（3）定号：根据给定的区间和x2-x1符号，确定差f(x2)–f(x1)(或f(x1)-f(x2))的符号。当符号不确定时，可以进行分类讨论。（4）判断：根据定义得出结论。2、利用导数的基本步骤是：2、求函数的单调性或单调区间的方法（1）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间；（2）定义法：先求定义域，再利用单调性定义；（3）图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可

6、由图象的直观性写出它的单调区间。（4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间。注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。例如函数y=1/x在内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为，不能用“∪”2．例题解析〖例1〗已知函数，给出以下三个条件:(1)存在，使得；(2)成立；(3)在区间上是增函数.若同时满足条件和（填入两个条件的编号），则的一个可能的解析式为.解析：满足条件(1)(2)时,等；满足条件(1)(3)时,等；满足条件(2)(3)时,等〖

7、例2〗求函数的单调区间思路分析：该函数整体来说是一个二次根式，首先要考虑被开方数大于等于零，在此基础上求被开方函数的单调性即可．解析：设y=，u=x2+x-6．由x2+x-6≥0，得x≤-3或x≥2，结合二次函数图象可知，函数u=x2+x-6在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞)上是递增的．又∵函数y=是递增的，∴函数在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞)上是递增的．〖例3〗设，(1)试判断函数的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2)若的反函数为，证明:对任意的自然数n(n≥3)，都有;解析:1)∵

8、>0且2－x≠0∴的定义域为判断在上是增函数，下证明之：………………………………………1分设任………………………………………2分∵∴………………………………3分∵∴x2－x1＞0，2－x1＞0，2－x2＞0则………………………………………4分用数学归纳法易证证略.……  12分二、复合函数的单调性1．求复合函数y=f(g(x))的单调区间的步骤（1）确定定义域；（2）将复