高三数学 2.2 函数的单调性与最值学案 新人教A版.doc

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1、2.2　函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做

2、函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值M为最小值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　)(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(

3、x)在D上是增函数．(　√　)(3)函数y＝

4、x

5、是R上的增函数．(　×　)(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　×　)(5)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．(　×　)(6)函数y＝的最大值为1.(　√　)1．(2014·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)A．y＝B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)答案　A解析　A项，函数y＝在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故

6、正确；B项，函数y＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C项，函数y＝2－x＝()x在R上为减函数，故错误；D项，函数y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．2．“a≤0”是“函数f(x)＝

7、(ax－1)x

8、在区间(0，＋∞)内单调递增”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案　C解析　本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断．当a＝0时，f(x)＝

9、(ax－1)x

10、＝

11、x

12、在区间(0，

13、＋∞)上单调递增；当a<0时，结合函数f(x)＝

14、(ax－1)x

15、＝

16、ax2－x

17、的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a>0时，结合函数f(x)＝

18、(ax－1)x

19、＝

20、ax2－x

21、的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f(x)＝

22、(ax－1)x

23、在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)＝

24、(ax－1)x

25、在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．3．函数f(x)＝在[1,2]的最大值和最小值分别是___________________

26、________．答案　，1解析　f(x)＝＝＝2－在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(1)＝1.4．(课本改编)已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________．答案　(－∞，1]∪[2，＋∞)解析　函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]

27、∪[2，＋∞).题型一　函数单调性的判断例1　(1)判断函数f(x)＝(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性．(2)求函数y＝的单调区间．解　(1)设－10，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0.又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，∴函数f(x)在(－1,1)上为减函数．(2)令u＝x2＋x－6，y＝可以看作有y＝与u＝x2＋x－6的复合函数．由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3

28、]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在[0，＋∞)上是增函数．∴y＝的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．思维升华　(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．(2)复合函数