高三数学复习 专题11 函数与方程学案 理 苏科版

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1、学案11　函数与方程【导学引领】（一）考点梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)零点的分布根

2、的分布(m＜n＜p为常数)图象满足条件x1＜x2＜mm＜x1＜x2x1＜m＜x2f(m)＜0m＜x1＜x2＜nm＜x1＜n＜x2＜p只有一根在(m，n)之间或f(m)·f(n)＜03.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．零点存在性定理是函数y＝f(x)存在零点的充分不必要条件若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则函数y＝

3、f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c就是方程f(x)＝0的根．这就是零点存在性定理．满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f(a)·f(b)＞0，f(x)在区间(a，b)上存在零点，并且有两个．【自学检测】1．函数f(x)＝＋log2x的零点个数为_______．2．若函数f(x)＝x2＋2a

4、x

5、＋4a2－3的零点有且只有一个，则实数a＝________.3．已知函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间(－1,1)内存在x0，使f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________．　4若函数f(

6、x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________．5．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．【合作释疑】判断函数在给定区间上零点的存在性【训练1】(1)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.(2)函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.【训练2】(1)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个

7、区间是________(填序号)．①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)．(2)设函数f(x)＝x－lnx(x>0)，则y＝f(x)满足________(填序号)．①在区间，(1，e)内均有零点；②在区间，(1，e)内均无零点；③在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点；④在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．函数零点个数的判断【训练1】(1)已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.(2)已知＜a＜2，则函数f(x)＝＋

8、x

9、－2的零点个数为________．【训练2】(1)已知函数f(x)＝则

10、函数y＝f[f(x)]＋1的零点个数是________．(2)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．二次函数的零点分布问题【训练1】已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围【训练2】(1)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.①有且仅有一个零点；②有

11、两个零点且均比－1大；(2)若函数f(x)＝

12、4x－x2

13、＋a有4个零点，求实数a的取值范围．【当堂达标】1．已知方程x3＝3－x的解在区间内，n∈Z，则n的值是________．2．已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.3．已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足________(与零的关系)．4．设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则函数f(x)在区间(0,1)，(1，＋∞)内的零点个数分别为________．5．设函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－log4x的零点个

14、数为________．6．已知函数f(x)＝若函数g