高三数学总复习 直线和平面垂直的判定与性质(一)教案

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1、湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案:直线和平面垂直的判定与性质(一) 一、素质教育目标(一)知识教学点1.直线和平面垂直的定义及相关概念.2.直线和平面垂直的判定定理.3.线线平行的性质定理(即例题1).(二)能力训练点1.要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究,特别是辅助线的添加.2.讲直线和平面垂直时,应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系.如直线和平面垂直,只须这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线,向学生渗透转化思想的应用.(三)德育渗透点引导学生认识到,定理的证明过程实质是应用转化思想的过程:立体几何

2、的问题转化为平面几何的问题来解决,线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决.转化思想是重要的数学思想方法,在立体几何的证明和解题中,是一种常用的思想方法.二、教学重点、难点、疑点及解决方法1.教学重点(1)掌握直线和平面垂直的定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,那么这条直线就和这个平面垂直.(2)掌握直线和平面垂直的判定定理:(3)掌握线线平行的性质定理:若a∥b,a⊥α则b⊥α.2.教学难点:在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明;同时还要解决好定理证明过程中,辅助线添加的方法和原因,及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线

3、的问题.3.教学疑点:判定定理的条件中,“相交”是关键,“两条”也是一个重要条件,对于初学立体几何的学生来讲,是不好理解的,教师应该用实例说明这两个条件缺一不可.三、课时安排本课题共安排2课时,本节课为第一课时.四、学生活动设计(略)五、教学步骤(一)温故知新,引入课题1.空间两条直线有哪几种位置关系?(三种:相交直线、平行直线、异面直线)2.经过一点和一条直线垂直的直线有几条?(从两条直线互相垂直的定义可知:经过一点有无数多条直线和已知直线垂直)3.空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系?(直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行.)4.怎

4、样判定直线和平面平行?师:我们已经知道,判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系.今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直,这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手.(板书课题:§1.9直线和平面垂直)(二)猜想推测,激发兴趣1.教师演示课本上的实例并指出书脊(想象成一条直线)、各书页与桌面的交线,由于书脊和书页底边(即与桌面接触的一边)垂直,得出书脊和桌面上所有直线垂直,书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象.从而引入概念:一条直线和平面内的任何一条直线都垂直,我们说这条直线和这个平面互相垂直

5、,直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.2.指出:过一点有且只有一条直线和一个平面垂直;过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.平面的垂线和平面一定相交,交点叫做垂足.3.说明直线和平面垂直的画法及表示.师:要证明一条直线和一个平面垂直,若每次都要证明这条直线和平面上每一条直线都垂直,显然是很麻烦也不必要的.让我们先看看木工师傅是如何判断一根立柱是否和板面垂直的方法:用曲尺检查两次(只要两次,但曲尺靠板面的尺,两次不能在同一条直线上),如果立柱、板面都和曲尺的两条边完全吻合,便可断定立柱和板面垂直.从中你能得到判定直线和平面垂直的方法吗?(引导学

6、生进行猜想推测)(三)层层推进,证明定理指导学生写出已知条件和结论,并画出图形如右:求证:l⊥α师:你如何证明直线和平面垂直呢?生:根据直线和平面垂直的概念,只需证明该直线和平面内的任何一条直线都垂直即可.师:设g是平面α内的任意一条直线,现在只要证明l⊥α就可以了.对于平面α内不经过点B的直线,可以过点B作它的平行直线,所以,我们先证明l,g都经过点B的情况.(生思考证明方法,教师在原有图形上适时添加辅助线,并对下列问题根据需要作提示.)1.l、g是相交直线,要证它们垂直,实际上已经转化为平面几何中的垂直证明问题,可以考虑等腰三角形的性质.在直

7、线l上点B的两侧分别取点A,A′,使AB=A′B.2.直线m、n和线段AA′是什么关系?(m、n垂直平分AA′)3.从结论看,直线g与线段AA′应当有什么关系?(g垂直平分AA′)4.怎样证明直线g垂直平分线段AA′?(只要g上一点E,有EA=EA′)5.过E作直线分别与m、n交于C、D,连结AC、A′C、AD、A′D,则有:AC=A′C、AD=A′D,由此能证明EA=EA′吗?(利用全等三角形性质)(学生叙述证明过程,教师板书主要步骤.)参看右图并作如下说明:1.当直线g与m(或n)重合时,结论是显然的.2.如果直线l、g有一条或两条不经过点B

8、,那么可过点B引它们的平行直线,由过点B的这样两条直线所成的角,就是直线l与g所成的角,同理可证这两条直线垂直,因而l⊥g.3.要判断一

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