高中数学 第一章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质（1）学案新人教a版选修2-3

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1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(1)【学习目标】1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力；2．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用；3．理解和初步掌握赋值法.【能力目标】能识别和计算两个系数,并会利用不等式求最大值.【重点难点】体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质，结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质【学法指导】二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项

2、式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.【学习过程】一.【课前预习】阅读教材P32-P35,二．【课堂学习与研讨】二项定理:一般地,对于有二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个?下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点?杨辉三角1．“杨辉三角”的来历及规律展开式中的二项式系数，如下表所示：11121133114641151010511615201561………………………………………………

3、……二项式系数的性质:展开式的二项式系数依次是从函数角度看，可看成是以为自变量的函数,其定义域是：当时，其图象是右图中的7个孤立点（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等；这一性质可直接由公式得到，图象的对称轴（2）增减性与最大值由于：，所以相对于的增减情况由决定。由知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。因此，当为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值；(3)各二项式系数的和在二项式定理中，令，则：，这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于。同

4、时由于，上式还可以写成：，这是组合总数公式。一般地，展开式的二项式系数有如下性质：，，当时，，当时，，，。例.在中，求：（1）二项式系数最大的项；（2）系数绝对值最大的项；解:（1）二项式系数最大的项是第项，为．（2）设系数绝对值最大的项是第项，又，依题意得于是化简得，解得.因为为整数，所以，即是系数绝对值最大的项．三．【课堂检测】1.已知，，那么。(用,表示)解:2.的展开式中，二项式系数的最大值是。解:当为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值,所以相等且最大,是126.3.若得展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则。解:即相等且最大,则.

5、4.的展开式中，系数绝对值最大的项是（D）A第4项B第4、5项C第5项D第3、4项5.若展开式中第6项的系数最大，则不含的项等于（A）A210B120C461D416四．【课堂小结】二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.【课外作业】1．思考判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列.（）（2）二项式展开式

6、中系数最大项与二项式系数最大项是相同的.（）（3）二项展开式的二项式系数和为.（）解:（1）对，由杨辉三角观察可知结论正确.（2）错，二项式展开式中系数与二项式系数是不同的两个概念，所以最大项也不相同.（3）错，二项展开式的二项式系数和为.（1）√（2）×（3）×2．关于的说法，错误的是(　　)A．展开式中的二项式系数之和为1024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小解:根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故

7、B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．C3．的展开式中系数最小的项为(　　)A．第九项B．第八项C．第七项D．第六项解:展开式中共有14项，中间两项（第七、八项）的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．故系数最小的项为第八项，系数最大的项为第七项．B4．在的二项展开式中，若只有的系数最大，则（）A．8B．9C．10D．11解:由题意展开式中，的系数就是第6项的二项式系数，因为只有它是二项式系数中最大的，所以.5．展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数