高中数学 第一章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教案 新人教a版选修2-3

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1、1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质●三维目标1.知识与技能(1)能认识杨辉三角,并能利用它解决实际问题.(2)记住二项式系数的性质,并能解决相关问题.2.过程与方法通过观察、分析杨辉三角数表的特点,掌握二项式系数的性质.3.情感、态度与价值观通过“杨辉三角”的学习,了解中华民族的历史,增强爱国主义意识.●重点、难点重点:二项式系数的性质.难点:杨辉三角的结构.第一课时【问题导思】 (1)观察“杨辉三角”发现规律①第一行中各数之和为多少?第二、三、四、五行呢?由此你能得出怎样的结论?②观察第3行中2与第2行各数之间什么关系?第4行中3与第2行

2、各数之间什么关系?第5行中的4、6与第4行各数之间有什么关系?由此你能得出怎样的结论?【提示】 (1)①20,21,22,23,24,第n行各数之和为2n-1.②2=1+1,3=2+1,4=1+3,6=3+3,相邻两行中,除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,设C表示任一不为1的数,则它“肩上”两数分别为C,C,所以C=C+C.1.杨辉三角的特点(1)在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即C=C+C.2.二项式系数的性质(1)对称性:在(a+b)n的展

3、开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即C=C,C=C,…,C=C.(2)增减性与最大值:当k<时,二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值.当n是偶数时,中间一项的二项式系数Cn取得最大值;当n是奇数时,中间两项的二项式系数Cn,Cn相等,且同时取得最大值.3.二项式系数的和(1)C+C+C+…+C=2n.(2)C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1.图1-3-1例1 如图1-3-1所示,在“杨辉三角”中,从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前n项和

4、为Sn,求S16的值.【思路探究】 观察数列的特点、它在杨辉三角中的位置,或者联系二项式系数的性质,直接对数列求和即可.【自主解答】 由题意及杨辉三角的特点可得:S16=(1+2)+(3+3)+(6+4)+(10+5)+…+(36+9)=(C+C)+(C+C)+(C+C)+…+(C+C)=(C+C+C+…+C)+(2+3+…+9)=C+=164.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路:(1)观察:对题目进行多角度观察,找出每一行的数与数之间,行与行之间的数的规律.(2)表达:将发现的规律用数学式子表达.(3)结论:由数学表达式得出结论.本例条件不变,若

5、改为求S21,则结果如何?【解】 S21=(1+2)+(3+3)+(6+4)+…+(55+11)+66=(C+C)+(C+C)+(C+C)+…+(C+C)+C=(C+C+C+……C)+(2+3+…+11)=C+=286+65=351. 第二课时例1:设(1-2x)2012=a0+a1x+a2x2+…+a2012·x2012(x∈R).(1)求a0+a1+a2+…+a2012的值.(2)求a1+a3+a5+…+a2011的值.(3)求

6、a0

7、+

8、a1

9、+

10、a2

11、+…+

12、a2012

13、的值.【思路探究】 先观察所要求的式子与展开式各项的特点,用赋值法求解

14、.【自主解答】 (1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a2012=(-1)2012=1.①(2)令x=-1,得a0-a1+a2-…+a2012=32012.②①-②得2(a1+a3+…+a2011)=1-32012,∴a1+a3+a5+…+a2011=.(3)∵Tr+1=C(-2x)r=(-1)r·C·(2x)r,∴a2k-1<0(k∈N*),a2k>0(k∈N).∴

15、a0

16、+

17、a1

18、+

19、a2

20、+

21、a3

22、+…+

23、a2012

24、=a0-a1+a2-a3+…+a2012=32012.1.本题根据问题恒等式的特点采用“特殊值”法即“赋值法”,这是一种重要

25、的方法,适用于恒等式.2.“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法,根据题目要求,灵活赋给字母不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令x=0可得常数项,令x=1可得所有项系数之和,令x=-1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.例2:已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7,a0+a2+a4+a6.【解】 (1)∵(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,令x=1,得a0+a1+a2+…+a7=-1,①令x=0,得a0=1,∴a1+a2+…

26、+a7=-2.(2)令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a6-a7=37=2187,②由①、②得a1+a3+a5+a

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