高中数学 第一章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案新人教a版选修2-3

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1、1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1），（2）.2．二项展开式的通项公式：3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：1二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等

2、距离”的两个二项式系数相等（∵）．直线是图象的对称轴．（2）增减性与最大值．∵，∴相对于的增减情况由决定，，当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．（3）各二项式系数和：∵，令，则三、讲解范例：例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和例2．已知，求：（1）；（2）；（3）.解：例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数解：例4.在(x2+3x+2)5的

3、展开式中，求x的系数解：例5.已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：例6．设，当时，求的值解：例7．求证：．证例8．在的展开式中,求:①二项式系数的和；②各项系数的和；③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；④奇数项系数和与偶数项系数和；⑤的奇次项系数和与的偶次项系数和.例9．已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992，求的展开式中:①二项式系数最大的项；②系数的绝对值最大的项.解：例10．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．（1）求展开式中二项式系

4、数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项解：例11．已知，求证：当为偶数时，能被整除