高中数学第一章计数原理1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质学案新人教a版

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1、1．3.2　“杨辉三角”与二项式系数的性质[学习目标]1．了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数．2．理解二项式系数的性质并灵活运用．[知识链接]1．二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？答　不是．二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数．实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角中的第n＋1行对应数值相等．2．根据杨辉三角的第1个规律，同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？答　对称性，因为C＝C，也可以从f(r)＝C的图象得到．3．二项式系数何时取得最大

2、值？答　当n是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间的两项的二项式系数Cn，Cn相等，且同时取得最大值．[预习导引]1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；(2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C．2．二项式系数的性质对称性在(a＋b)n展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C增减性与最大值增减性：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的；当k＞时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数Cn，最大

3、；当n为奇数时，中间两项的二项式系数Cn11，Cn相等，且同时取得最大值各二项式系数的和①C＋C＋C＋…＋C＝2n②②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1要点一　与杨辉三角有关的问题例1　如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值．解　由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C.∴S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝C＋C＋C＋…＋C＋C

4、＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1＋C＝C－1＋C＝274.规律方法　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．跟踪演练1　如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.第0行1第1行1　1第2行1　2　1第3行1　3　3　1第4行1　4　6　4　1第5行1　5　10　10　5　1…　…　…答案　3411解析　设第n行

5、从左至右第14与第15个数之比为2∶3，则C∶C＝2∶3.∴3C＝2C，即＝，得：＝，∴n＝34.要点二　二项展开式的系数和问题例2　已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求下列各式的值．(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)

6、a0

7、＋

8、a1

9、＋

10、a2

11、＋…＋

12、a7

13、.解　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－1.①令x＝－1，则a0－a1＋a2－…－a7＝37.②(1)令x＝0，得a0＝1，代入①中得：a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)由①－②

14、得2a1＋2a3＋2a5＋2a7＝－1－37，∴a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094.(3)由①＋②得2a0＋2a2＋2a4＋2a6＝－1＋37，∴a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093.(4)法一　∵(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴

15、a0

16、＋

17、a1

18、＋

19、a2

20、＋…＋

21、a7

22、＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.法二　

23、a0

24、＋

25、a1

26、＋

27、a2

28、＋…＋

29、a7

30、是(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，∴

31、a0

32、＋

33、a1

34、＋

35、…＋

36、a7

37、＝37＝2187.规律方法　赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．一般地，对于多项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为[f(1)＋f(－1)]，a0＝f(0)．跟踪演练2　设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋11a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1＋a2＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)

38、(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.解　(1)由(2－x)100展开式中的常数项为C·2100，即a0＝2100.或令x＝0，则展开式可化为a0＝2100.(2)令x＝1，可得a0