2018年秋高中数学计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案新人教a版

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1、1.3.2　“杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标：1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点)2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点)3.理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点)[自主预习·探新知]1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，…，C

2、＝C.(2)增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数C取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数C与C相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数的和(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．(　　)(2)二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.(　　)(3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．(　　)[解析]　(1)√　

3、由杨辉三角可知每一斜行数字的差成一个等差数列，故正确．(2)×　二项展开式的二项式系数的和应为C＋C＋C＋…＋C＝2n.(3)×　二项式系数最大项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是(　　)【导学号：95032084】A．1　　　　　　　B．－1C．215D．315B　[令x＝1即得各项系数和，∴和为－1.]3．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是(　　)A．第8项B．第7项C．第9项D．第10项C　[由二项式展开式的性质与首末等距

4、离的两项的二项式系数相等．]4．(1－x)4的展开式中各项的二项式系数分别是(　　)【导学号：95032085】A．1,4,6,4,1B．1，－4,6，－4,1C．(－1)rC(r＝0,1,2,3)D．(－1)rC(r＝0,1,2,3,4)A　[杨辉三角第4行的数字即为二项式系数．][合作探究·攻重难]“杨辉三角”的应用　如图131，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．图131[思路探究]　由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项

5、是C，第18项是C，第19项是C.[解]　S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C＝＋220＝274.[规律方法]　“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：[跟踪训练]1．将全体正整数排成一个三角形数阵：12　34　5　67　8　9　1011　12　13　14　15……按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为

6、________．　[前n－1行共有正整数[1＋2＋…＋(n－1)]个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为.]求展开式的系数和　设(1－2x)2018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2018·x2018(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2018的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2017的值；(3)求

7、a0

8、＋

9、a1

10、＋

11、a2

12、＋…＋

13、a2018

14、的值.【导学号：95032086】[思路探究]　先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．[解]　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2018＝(－1)2018＝1.①(2)令x＝－1，

15、得a0－a1＋a2－…－a2017＋a2018＝32018.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2017)＝1－32018，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2017＝.(3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N)．∴

16、a0

17、＋

18、a1

19、＋

20、a2

21、＋

22、a3

23、＋…＋

24、a2017

25、＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2017＋a2018＝32018.[规律方法]1．解决二项式系数和问题思维流程．2．对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各