高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课后课时精练新人教A版.docx

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1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质A级：基础巩固练一、选择题1．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(　　)A．第6项B．第5项C．第5,6项D．第6,7项答案　A解析　由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C＝C，由组合数的性质，得n＝10.∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项．2．(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1024，则n的值为(　　)A．8B．9C．10D．11答案　B解析　由题意知(1＋1)n(3－1)＝1024，即2n＋1＝1024

2、，所以n＝9.故选B.3．在10的展开式中，系数最大的项为(　　)A．第5项B．第6项C．第5项和第6项D．第5项和第7项答案　D解析　由二项式定理知，展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T6，且T6＝Cx55＝－C，二项式系数等于项的系数的相反数，此时T6的系数最小．而T5＝Cx64＝Cx2，T7＝Cx46＝Cx－2，且C＝C，∴系数最大的项为第5项和第7项．4．若多项式x＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a0＋a2＋…＋a8＝(　　)A．509B．510C．51

3、1D．1022答案　B解析　令x＝0得0＝a0＋a1＋…＋a9＋a10.①令x＝－2得－2＋(－2)10＝a0－a1＋a2－…－a9＋a10.②①＋②得210－2＝2a0＋2a2＋…＋2a10，∴a0＋a2＋…＋a10＝29－1.又由x10的系数为1知，a10＝1，∴a0＋a2＋…＋a8＝29－1－1＝510.5．已知(1＋2x)2n的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是(　　)A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项答案　B解析　设(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2n

4、x2n，则展开式中奇次项系数之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1.分别令x＝1，x＝－1，得两式相减，得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝.由已知，得＝364，∴32n＝729＝36，即n＝3.(1＋2x)2n＝(1＋2x)6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，选B.二、填空题6．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________.答案　6解析　根据二项式系数的性质知：(x＋y)2m的二项式系数最大有一项，C＝a

5、，(x＋y)2m＋1的二项式系数最大有两项，C＝C＝b.又13a＝7b，所以13C＝7C，解得m＝6满足等式．7．在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1024，则中间项系数是________．答案　462解析　∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n－1＝1024，∴n＝11，∴展开式共12项，中间项为第6项、第7项，其系数为C＝C＝462.8．若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝____

6、____.答案　1解析　令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(－1)10，令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(＋1)10，故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)＝(－1)10(＋1)10＝1.三、解答题9．已知fn(x)＝(1＋x)n.(1)若f2019(x)＝a0＋a1x＋…＋a2019x2019，求a1＋a3＋…＋a2017＋a2019的值；(2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，求g(x)中含x6项的系数．解

7、　(1)因为fn(x)＝(1＋x)n，所以f2019(x)＝(1＋x)2019，又f2019(x)＝a0＋a1x＋…＋a2019x2019，所以f2019(1)＝a0＋a1＋…＋a2019＝22019，①f2019(－1)＝a0－a1＋…＋a2018－a2019＝0，②①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2017＋a2019)＝22019，所以a1＋a3＋…＋a2017＋a2019＝22018.(2)因为g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，所以g(x)＝(1＋x)6＋2(1＋x)7＋3(1＋x)8，g(x)中含x6项的系数为1＋2×C＋

8、3C＝99.B级：能力提升练10．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解　T6